a.b.p.qは全てベクトルで、大きさを表すときはｌaｌ,ｌbｌ,ｌpｌ,ｌqｌのように表すことにします。

平面上の二つのベクトルa,bがｌa+２bｌ=1,ｌ-3a+bｌ=1を同時に満たしながら変化するときｌa+bｌの最大値を求めよ。

解答を写しますと
a+2p=p・・①
-3a+b=q・・②
とおくとｌpｌ=ｌqｌ=1・・・③

①かつ②⇔①－②×２かつ①×３＋②
　　　　⇔a=(1/7)(p-2q)・・・④かつb=(1/7)(3p+q)・・・⑤

よってｌa+bｌ=ｌ④＋⑤ｌ＝(1/7)ｌ4p+(-q)ｌ
≦(1/7)｛ｌ4pｌ+ｌ-qｌ}=(1/7)(4ｌpｌ+ｌqｌ)=5/7

『等号は4pと-qが同じ向きのときに成り立つ』から
ｌa+bｌの最大値は5/7

『　』が疑問に残ります。本当に成り立つのかどうか。本当に4pと-qが同じ向きになり得るp,qが存在するのかどうか。
確かに等号が成り立つと仮定すれば、4pと-qが同じ向きのときしか有り得ませんが。

解答(月刊大数２月号）には「①かつ②⇔④かつ⑤なのでp,qは③をみたすように自由に動けます」とありました。この意味が分からないことが原因かもしれません。

よろしく御願いします。ずっと解決できないでいます・・。（ちなみに１０年の東邦大・医の問題です）