3.次数3の点の双対グラフ(a)について
　これは、周り3本の辺が全て同色の時のみ3彩色できない(証明略)
　 ここで、3正則な平面グラフのライングラフを考える。
　 このグラフは、4正則な平面グラフ(*)である(証明略)
　 最小反例に(a)が存在すると仮定し、そのライングラフを考える。
　 最小反例から(a)除いたグラフは、3彩色可能である。
　 このとき、(a)に接合していた3点に着目すれば同色点集合である
　 ことがわかる。再び(a)をもどし、適当に縮約と削除を行えば、
　 それら3点を結ぶ3角形ができる(証明略)。平面グラフのマイナーは
　 平面グラフである。3点全てが同一の同色点集合に含まれるならば
　 命題※より次数6を含むことになるが、これは(*)と矛盾する。
　 よって、少なくとも1つは同色点集合に含まれない。
　 このことから、周り3本の辺が全て同色になる以外の塗りわけが
　 少なくとも1つ存在するため、3正則な平面グラフに配置(a)が
　 存在する時、配置(a)は可約配置である。

4.次数5の点の双対グラフについて
上記とほぼ同様の方法で可約配置であることが証明できる。

5.締め
　このことより、3正則な平面グラフには少なくとも1つは可約配置を
　含むため、最小反例は存在しない。よって、3正則な平面グラフの
　辺彩色は3彩色的である。

6.さらに
　正則な平面グラフの辺彩色が3彩色的ならば、あらゆる平面グラフは
　２つのサイクルの合併である。

　よって、あらゆる平面グラフは4 彩色的である。