「相異なる３つの実数解」という時点で、
ax^3+bx^2+cx=0を思い浮かべる人は多いはず。

でも、「ax^3+bx^2+cx=0が、相異なる三つの実数解をもつための、a,b,cの条件を求めよ」
では、いわゆる「単純な計算問題」に該当し、１０点。
計算間違いがあるごとに、１点ずつ引かれていく。
せいぜい５点でしょう。

では、どうやって問題を作るのか？
それには逆説的だが、まず「最後の問題を作ってしまう」のである。

それは、「aの範囲を求めよ」でも「aの示す領域を図示せよ」でも、
「条件をみたすaの一般形を求めよ」でも、なんでもよい。

ここでは、「aの範囲を求めよ」としよう。

次に、単純に、「ax^3+bx^2+cx=0の３実解」では、創造性がないから、
これを連立方程式の形に直すとか、なんらかの「変形」をする。
ここに、土浦一高生の創造力が試される。

ここでは、ｙを消せばxの３次方程式になるように、
１−axy=x
x(1-ax)=y←注目、ｙ＝xの二乗式になっている。ここに創造力が試される

ｙを消して、
a^2x^3-ax^2-x+1=0

この３次方程式が、３つの異なる時数解をもつような、aの範囲をもとめればいい。

あとは計算問題。