「分母」という事は、既に分数になっていて、分母のところに来ているという事は、暗黙のうちに、
「（分母で表されているもの）≠０」となっているという事です。問題文で分数表記があったら、
その分数表記の中の分母が０になるような場合は除外されている事となります。
これが、「見えない条件」です。「見えない条件がある事を見落とすな」と言う意味で、
『チャート式の解説に分母≠0の確認が大事』
とかかれているのだと思うし、あるいは、何らかの式変形の中で、分数を作る際には、分母になる項が０に
なるような事はあるか、気をつけなければなりません。もし無いのなら、その理由を記し、あるのなら、０に
なる場合と、ならない場合とに場合分けして、以後の論理を展開せねばなりません。

>> ここで (i)a+b+c+3≠0，k=1/2 (ii)a+b+c+3 と場合分けして解く方法と
>> (2k-1)(a+b+c+3)=0　よって k=1/2 または a+b+c=-3 と場合分けして解く方法とはどちらも同じことですか？
同じ事です。（途中の(ii)は、“a+b+c+3=0”　の書き損じですね。）

>> どちらも分母≠0（b+c+2≠0,c+a+2≠0,a+b+2≠0）の確認は必要ないですか？
解答の途中で、分数にする必要が表れ、論理展開されていたのなら、必ず触れなければなりません。
しかしこれは、問題文の中にあった見えない条件です。最終解答になんあらかの影響があるのなら、
触れておく必要があります。ないのなら、「最初から最後まで、問題全体を通しての見えない条件」
に治まり、あえて触れる必要はないと言えるでしょう。ただし、頭の中には常に入れておく必要はあります。

y=x+1　というグラフと、　y=(x^2-1)/(x-1)　というグラフは　異なるグラフです。