立方体ABCD-EFGHと、それに内接する球がある
辺BFの中点をMとし、3点A,C,Mを通る平面で球を切断するとき、切り口の図形のめんせきを求めよ

この解き方として、
BFHDで切断
　↓
長方形BFHDの中に、球の切断面円Oも書き入れる
　↓
対角線AC,BDの交点をIとし、それを先ほど書いた図の中に書き込む
(つまり長方形BFHDの辺BDの中点をIとする)
　↓
MIを結ぶ

これで、線分MIは円Oと二箇所で交わると思うんですが、
その二箇所の間の長さが問題で聞かれている切断面の円の直径だそうです
しかし、何故そこが直径になるのかイメージができないというか、よくわかりません
証明みたいなものを交えて説明お願いします

分かりづらければ図も載せます