高校生のための数学の質問スレPART289
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0001１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 14:36:16前スレ
高校生のための数学の質問スレPART288
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1296909879/
数学@2ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://mathmathmath.dotera.net/
・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など）
・問題の写し間違いには気をつけましょう。
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
（× x+1/x+2 ； ○((x+1)/(x+2)) ）
・丸文字、顔文字、その他は環境やブラウザによりうまく表示できない場合があります。
どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。 （トリップの付け方は 名前(N)に 俺！#oretrip ←適当なトリ)
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。でないと放置されることがあります。
（変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように）
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。それがない場合、放置されることがあります。
（特に、自分でやってみたのにあわないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように）
・970くらいになったら次スレを立ててください。
・マルチ（マルチポスト）は放置されます。
0002１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 14:36:23■ 足し算/引き算/掛け算/割り算（加減乗除）
a+b → a 足す b （足し算）
a-b → a 引く b （引き算）
a*b → a 掛ける b （掛け算）
a/b → a 割る b （割り算）
■ 累乗 ^
a^b a の b乗
a^(b+1) a の b+1乗
a^b + 1 （a の b乗） 足す 1
■ 括弧の使用
a/(b + c) と a/b + c
a/(b*c) と a/b*c
はそれぞれ、違う意味です。括弧を多用して、キチンと区別をつけてください。
■ 数列
a[n] or a_(n) → 数列aの第n項目
a[n+1] = a[n] + 3 → 等差数列の一例
Σ[k=1,n]a_(k) → 数列の和
■ 積分
∫[0,1] x^2 dx
∫[0,x] sin(t) dt
■ 三角関数
(sin(x))^2 + (cos(x))^2 = 1
cos(2x) = (cos(x))^2 - (sin(x))^2
■ ベクトル
AB↑ a↑
ベクトル：V=[V[1],V[2],...], |V>, V↑, vector(V)
（混同しない場合はスカラーと同じ記号でいい．通常は縦ベクトルとして扱う．）
■行列
（全成分表示）：M=[[M[1,1],M[2,1],...],[M[1,2],M[2,2],...],...], I=[[1,0,0,...],[0,1,0,...],...]
（行（または列ごと）に表示する． 例）M=1,-1],[3,2
0003１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 14:36:34(a±b)^2=a^2±2ab+b^2
(a±b)^3=a^3±3a^2b+3ab^2±b^3
a^3±b^3=(a±b)(a^2干ab+b^2)
√a*√b=√(ab)、√a/√b=√(a/b)、 √(a^2b)=a√b [a > 0、b > 0]
√((a+b)±2√(ab))=√a±√b [a > b > 0]
ax^2+bx+c=a(x-α)(x-β)=0 [a≠0、α+β=-b/a、αβ=c/a]
(α,β)=(-b±√(b^2-4ac))/2a [２次方程式の解の公式]
a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C)=2R [正弦定理]
a^2=b^2+c^2-2bccos(A) [余弦定理]
sin(a±b)=sin(a)cos(b)±cos(a)sin(b) [加法定理]
cos(a±b)=cos(a)cos(b)干sin(a)sin(b)
log_{a}(xy)=log_{a}(x)+log_{a}(y)
log_{a}(x/y)=log_{a}(x)-log_{a}(y)
log_{a}(x^n)=n(log_{a}(x))
log_{a}(x)=(log_{b}(x))/(log_{b}(a)) [底の変換定理]
f'(x)=lim_[h→0] (f(x+h)-f(x))/h [微分の定義]
(f±g)'=f'±g'、(fg)'=f'g+fg'、(f/g)'=(f'g-fg')/(g^2) [和差積商の微分]
作成日: 2011年1月21日（金）
0004１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 14:46:16994 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/02/13(日) 14:34:47
成り立つかどうかわかんないから仮定すんだよ。
実際には成り立つ命題に対いて「n=kで成り立たなければn=k+1で成り立たない」が証明出来たとしても、
でっ？ってことにしかならず無意味なだけ。
0005１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 14:49:010006１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 14:51:49どぅっΣ（・□・；）
n=kで成り立つ
↑これを仮定している
別に絶対成り立つ必要はない。
なぜなら仮定しているからだ
n=kで成り立つと仮定して、n=k＋1で成り立てばいいのさb
n=k＋1で成り立てば、n-1=kで成り立つ訳でしょ？
成り立たなかったらn=kの仮定が間違っているわけだから(⌒▽⌒)
0007１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 15:01:58n=kのとき成り立つならn=k+1のときも成り立つをさらに証明したら
k=1としたらn=2のときも成り立ってそれからどんどん成り立っていくだろ
0008易問bbc.
2011/02/13(日) 15:13:37こんなのどーでもいいか爆死
0009１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 15:16:152)n=kのとき成り立つとすると、n=k+1のとき成り立つ
この二つが証明されなければならないだろ？
でも2)には成り立つかどうかわからない仮定が入ってるだろ？
だから帰納法は実は間違ってるんだよ
0010１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 15:18:58その前までは正しいがね
0011１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 15:21:49疑いもせずに帰納法使ってるようじゃまだまだだね
0012１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 15:24:36覚えたての言葉を言いたがる中学生みたいな？
0013１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 15:26:06あれを数学的帰納法自体の矛盾と思ってるようじゃまだまだだね
0014１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 15:26:32じゃぁ帰納法がなぜ正しいか説明してみろよｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
0016１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 15:43:120017１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 15:43:53ワロタとか言って、結局何も理解してないやつ
0018１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 15:44:550019１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 15:46:25俺もずっと帰納法ひっかかってたんだ
おかしいと思ったよ
0021１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 16:04:52sin-5/4π=1/√2 cos-5/4π=-1/√2 tan-5/4π=-1で合ってますかね
三角関数訳がわからない
0022１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 16:12:00１以上６以下の自然数について、左からｋコメの碁石が黒石である確率をｐ(k)で表す．
ｋが２以上６以下の自然数の時、ｐ(k)をp(k-1)を用いて表せ．
という問題で解説に
ｋ個目の碁石が黒色である場合は、ｋ－１個目の碁石が白石で、その次にサイコロを振ると３または６の目が出る場合であるので
p(k)=(1-p(k-1))*(2/6)
とありますが、これだと白と黒の間でサイコロを振ってますから、「３，６の時、黒石を１個置いて、さらにその次に白石を１個置く」（一気に２個置いている）というルールから外れてませんか？
ｋ個目の黒はｋ－１回目に３，６を出すことで決まりませんか？
よろしくお願いします
002322
2011/02/13(日) 16:13:30誤 ｋ個目の黒はｋ－１回目に３，６を出すことで決まりませんか？
正 ｋ個目の黒はｋ－２回目に３，６を出すことで決まりませんか？
0024１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 16:13:440025１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 16:20:55石の数の「○個目」と、サイコロを振る回数の「△回目」を混同していませんか？
○の数＝△の数＋（△回サイコロを振る間に黒が出た回数）
という関係があるみたいですよ。
002622
2011/02/13(日) 16:33:53「ｋ－１個目の碁石が白石で、その次にサイコロを振ると３または６の目が出る場合である」
はルール上できないので
「ｋ－２個目の碁石が白石で、その次にサイコロを振ると３または６の目が出る場合である」
ではないでしょうか？
に訂正します
0027１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 16:39:49え、という感じになります
0028あい
2011/02/13(日) 16:46:32これあってますか？
さっき自分でやってみたんですが...
0029１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 16:47:060030１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 16:51:43確かに
0031１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 16:54:59何をどうしたらそうなるの？
0032１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 17:01:36あってない、近いけど
あとa=bのときは別ケース
0033１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 17:02:26状況を整理するのに役立つと思われる説明をします。
ここで定義されているpは、サイコロが何回振られたかについては全く触れず、左から何個目かだけにこだわっています。
「ｋ－１個目の碁石が白石で、その次にサイコロを振ると３または６の目が出る場合である」
これが起こると、ｋ個目に黒石が置かれ、ｋ＋１個目に白石が置かれます。
もし、３，６以外が出たら、ｋ個目に白石が置かれます。
「ｋ－２個目の碁石が白石で、その次にサイコロを振ると３または６の目が出る場合である」
これが起こると、ｋ－１個目に黒石が置かれ、ｋ個目に白石が置かれます。
もし、３，６以外が出たら、ｋ－１個目に白石が置かれます。
これらの場合、次１回のサイコロ振りだけでは、いずれであろうとも、p(k)には寄与しない。
0034１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 17:02:52分かんない
0035１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 17:06:26やっと分かりました。状況が掴めてませんでした。ありがとうございました。
0036１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 17:19:29実際にやってみた
円に内接する四角形
AB=BC=2 CD=4 DA=6のとき
角Cを求めてみる。
君のやり方に従うと
6=4-2*2cosθ
4cosθ=-2
cosθ=-1/2 ∴θ=角C=120°
正しいのか？
0037１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 17:26:130038１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 17:30:09θを第１象限に(-θのときは第４象限に)とって
９０度なり１８０度なり回すといい、
と習ったのですが、θを第１(４)象限にとるのはなぜですか？
0039１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 17:34:460040１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 17:46:00まず、[1]で示すものは、n=1の時に限ってはいない。何でも良いから、適当な整数値で命題が成り立つ事を示す。
自然数で成り立つ事を示す事が多いから、その数値として、1を選び、n=1のとき成り立つ事を示すことが多い。
そこで、とりあえず初期値として１を選び、n=1の時を、証明する。
次に、n=2で成立する事を示す。このとき、何も使わずに証明できるなら、それでも良いが、必要だったら、既に上で証明した式は、証明済みなので、利用して証明する。
さらに、次に、n=3で成立する事を示す。このとき、同様に既に上で証明した式(n=1やn=2での証明結果)は、証明済みなので、必要だったら利用する。
．．．
さらに、次に、n=mで成立する事を示す。このとき、同様に既に上で証明した式(n=1,2,...,m-1での結果)は、証明済みなので、必要だったら利用する。
をすれば、n=1以上m以下の全ての整数で成り立つ事を示した事になる。この証明方法に問題があると言うやつはおるまい。
だが、これを、くそまじめにやっていたら、いくらスペースがあっても足りない。
注目するのは、同じような事を何度も繰り返していること。ある一定ラインまで証明が完了したら、次のラインの証明では、それまでの証明結果
を利用して証明していること。そこで、上ではnに具体的な数字をいれて証明していたものを「k」と一般化し、n=kまでの証明が完了したら、
それを利用してn=k+1でも成立する事を証明するという方策をとる。そしてこの証明において、順次、k=1,2,3,4,...,m-1と代入して展開すれば、上で順次手間をかけてやっていた
事と同じ効果をもたらすわけだ。だが、それに留まらない。こちらの場合、k=m,m+1,...といくらでも大きな値まで持って行く事ができる。
つまり、n=1以上の全ての整数で成り立つ事が示せる。これが数学的帰納法の考え方。
0041１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 17:50:500042１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 17:56:240043１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 18:03:380044１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 18:07:18↓
という問題で、じゃあ考えなかったらこの問題はないんですよね？
0045１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 18:07:300046１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 18:09:120047１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 18:22:36ごめんね( ´ ▽ ` )
0049１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 19:28:20一個一個証明した場合は確かに正しい。
でも、それを一般化してkにした場合は、「kが成り立つとして」と仮定しているだろ？
仮定して証明できるんなら、なんだって証明できるんだよ。
俺の父さんがオバマ大統領だと仮定すれば、俺はオバマ大統領の子供だ。
これが帰納法の矛盾なんだよ＾＾ｂ
0050１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 19:37:46確立した手法の穴を見つけたと信じ込めたわけだ。
幸せ過ぎるだろｗｗ
0051１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 19:38:12いわゆる[II]では、「n=1,2,...,kの時に、命題が成立しているならば、n=k+1の時にも成立する事が証明できる」を示しているんだ。
0052１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 19:43:440053１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 20:00:56⇔b=aと仮定すると
0054１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 20:01:09P(n)を自然数に関する命題として
①P(1)が成立
②k＝1,2,3,…に対して、P(k)⇒P(k+1)が成立
が示されたとする。
すると、任意のnに対してP(n)が成立する。
【証明】背理法で示す。
P(n)が成立しないnが存在すると仮定して、
そのようなnのうち、最小のものをmとおく。
①よりm＞1
mが最小であることより、P(m-1)は成立する。
②よりP(m-1)⇒P(m)
よってP(m)が成立することになり、矛盾。
0055１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 20:05:45[II]で行っている「仮定」が、『何でもかんでも仮定してしまえば何でも証明できてしまう』と考え、
諸悪の元凶のように思っているようだが、それは的外れ。
数学的帰納法においては、[I]において、これから[II]で行おうとしている「仮定」が妥当なものであることを、
事前にきちんと示している。
0056１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 20:17:570057１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 20:24:20仮定という言葉が入ったら嘘でも何でも証明できるから、
仮定という言葉が入ったものは全てだめなんだってさ
数学全否定ｗ壮大だなｗｗ
00589
2011/02/13(日) 20:46:481)n=1の場合
は証明できても
2)n=kで成り立つならばn=k+1で成り立つ
は一見証明できているように見えても、実は証明されていないんだよ
n=kで成り立つことを最初から仮定しちゃってるからね
矛盾というか、循環しちゃってんだよ＾＾ｂ
0059１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 20:48:410060１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 20:53:400061１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 20:59:070062１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 21:10:41というコメントに対するレスポンスをしている。
0063１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 21:14:14(2)は仮定しちゃってるじゃん？
どうしてわからないかなぁ
0064１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 21:16:550065１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 21:25:46数学は全て
この仮定の上で話をしている
別にこれが成り立ってよーが成り立っていなかろーが別によくないか？
0066１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 21:29:19f'(z)=9z^2-i
でいいのかな？
0067１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 21:32:44>>54
0068１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 21:32:48高1だけど良いと思うよ
0069１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 21:48:420070１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 21:53:11> (1)と(2)が両方仮定なしに成り立って、初めて帰納法による証明ができたと言えるんだよ？
なぜ？
0071１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 22:01:12(⌒`)
(~) 寒いね‥ （ ）
γ´⌒｀ヽ ＿＿( )
{i:i:i:i:i:i:i:i:} |;;lヽ::/ ｺﾎﾟｺﾎﾟ
（ ´･ω･） .|;;| □o
（:::::::::：:::） .i===i=i
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣|
(~) コーヒー飲む？
γ´⌒｀ヽ ＿＿
{i:i:i:i:i:i:i:i:} |;;lヽ::/
（ ´･ω･｀）∫ |;;| □o
（:::::::::つc□ .i===i=i
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣|
0072１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 22:10:31（1）xの整式x^4+4b^4を、整数係数の2つの2次式の積の形に
因数分解せよ。
（２）a^4+4b^4=pをみたすa,b,pを求めよ
お願いします。
0073１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 22:15:092つの円の方程式をQ=0、R=0として、
求める方程式をkQ+R=0とおく解法がありますよね。
教科書にも解説はあるのですが、いまいちなにをやっているのかわかりません。
求める方程式をそうやっておいていい理由というか、なぜそんなことを考え付くのか、というところが
0074１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 22:16:41代数多様体とイデアルを学ぶと分かる
007573
2011/02/13(日) 22:20:120076１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 22:22:27（1）は2次式を適当において（2次の係数は両方とも1）、恒等式とすれば解けるよ。
手を動かせ。
0077１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 22:23:52a^2+2ab+b^2=p かつ a^2-2ab+b^2=1 → a^2+2ab+b^2=p かつ 4ab=p-1 以下省略
0078１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 22:23:54K=（S-R)/Q とすればよいから、 S=KQ+R＝０になる。
0079１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 22:24:580080１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 22:27:47Q=0、R=0が円を表す方程式なら、kQ+R=0も円を表す方程式であり、
最初の2つの円の交点を通るのも明らかだから。
0081１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 22:35:26うーん、他の可能性は無いのでしょうか？
kQ+R=0
で求める方程式の可能性が全て尽くされているというところがよくわかりません。
「なんでそうおいていいのかわからない」と同じことですが。
0082１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 22:38:020083１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 22:43:500084１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 22:44:01y - b = k(x - a)が(a,b)を通る直線を全て（直線x=aを除いて）表してるのと似たようなもの
y = bとx = aが円の式に変わっただけ
0085１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 22:44:59もう一つ別の点というのはどちらの円上の点でもないということでしょ？
（そうでないと、そのようにはおけない）。
そうするとその点を代入するとQ≠0だから、どちらの円上でもないすべての点に対してk=-R/Qを定めることが出来る。
だから、網羅している。
0086１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 22:47:15えーと、そのアナロジーでいくと、
直線の場合はkというのは傾きでいめーじできますし、それで尽くされるというのも納得できるのですが、
円の場合はどのように考えたらいいのでしょうか
0087１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 22:47:56与えられた２点を通る円をいろいろ描いてみる。円の中心がどこに来るかに注意する。
0088１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 22:48:07全て尽くされていないことは、指定されたもう一つの点がQ上にあるとき、
つまり求める円がQに一致するときが入っていない(|k|→∞)ことからすぐわかる
0089１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 22:48:53これがよくわかりません
0090１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 22:54:23その点をkQ+R=0に代入してkについて解くだけだよ。
そうするとその点を通るkQ+R=0を作ることが出来るとわかるだろ？
kQ+R=0は最初の2円の交点を通るのも明らかだから、
別の点がどこにあってもその点と2円の交点を通る円をkQ+R=0で表すことが出来る。
0091１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 23:03:29「二つの円の方程式をQ=0,R=0としたとき、この二つの円の交点を通る円の方程式がkQ+R=0の形になること」を一度自分で証明すればいい。
0092１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 23:15:440093１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 23:33:58V(Q,R):={(x,y)∈R^2 | Q(x,y)=0, R(x,y)=0} = {(a1,b1), (a2,b2)} （これをアフィン多様対という）
I(V)={f(x,y)∈R[x,y] | (a1,b1),(a2,b2)に対してf(a1,b1)=0かつf(a2,b2)=0}
とするとき、
<Q,R>:={f(x,y)Q(x,y)+g(x,y)R(x,y)| f(x,y), g(x,y)∈R[x,y]}について
I(V)=<Q,R>を証明せよ。特に、{kQ(x,y)+R(x,y)| k∈R}は2交点を通る円の全体であることを示せ。
0094１３２人目の素数さん
2011/02/13(日) 23:54:170095１３２人目の素数さん
2011/02/14(月) 00:11:54ありがとうございます
0096１３２人目の素数さん
2011/02/14(月) 00:13:16その証明たのむ
0097１３２人目の素数さん
2011/02/14(月) 00:20:11ご教授ください
あるレストランには
４人まで座れるテーブル＝イと
５人まで座れるテーブル＝ロがある
ＡＢＣＤＥＦの６人がイとロのテーブルに分かれて座るとき
分け方は全部何通りあるか求めなさい
お願いします＞＜
0098１３２人目の素数さん
2011/02/14(月) 00:20:11[II]においては、本来の意味での「仮定」は行われていない。
行っているのは、一般化に備えての仮変数の導入。
「何々が成立するならば」という慣用句的使用法の「ならば」がそのように勘違いさせているだけ。
あるいは、唐突に表れた仮変数を、違和感なく取り入れてもらうため、誰かが用いた
「何々が成立すると仮定すると」が、広く広まり、形式化してしまったものと類推できる。
よく、数学的帰納法を眺めてみよ。
「これこれが成立するかどうだか不明だが、成立すると仮定すると、これこれも成立する」
という意味では決してなく、
「これこれが成立するならば、これこれも成立する」という使い方がなされている。
つまり、この「ならば」は、論理記号の「⇒」以外の何者でもない。
そして、その前提に当たるものは、[I]、あるいは、[II]での逐次的適用により証明されている
ものだけである。
0099１３２人目の素数さん
2011/02/14(月) 00:21:350100１３２人目の素数さん
2011/02/14(月) 00:22:11ｲに入る人数で場合わけ
0101１３２人目の素数さん
2011/02/14(月) 00:23:21kQ+R=0というパラメターkについての一次式がいきなり出てくる発想が
どこからくるのかだと思う
てか俺も知りたいんだが
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