>>896
①さくっと分かるには対称性を考える、てか真上から見れ
正四面体の側面の3つの辺は底面の3つの中線へ射影される

②これもさくっと分かるには対称性を考える
A,B,Cはどれも内接球と同じ仕方で接していて、
どの一つも特別でないので、それぞれの底面からの距離は等しいから、
Pは底面に平行

③A,B,Cは内接球と側面の接点だから、内接球をPで切った円は、
△ABCの外接円で、その中心は△ABCの外心。
△ABCは対称性により正三角形だから外心は重心と一致する

行間を埋めてきっちり証明するのは演習問題にしてみ
座標空間でやっても何でもいいし