>>881
対称性により

・・・だとそっけないが、ユークリッド的にきちんと証明するのは長くなるから概要だけ
正四面体を正三角錐とみなし、頂点から底面へ垂線hをおろすと、垂線の足Hは底面の重心
正三角錐の3つの側面と内接球との接点A,B,Cをとると（まだ側面の重心とはいってない）、
A,B,Cを通る平面Pは底面に平行なので、平面Pで正四面体を切った上側の立体も正四面体
垂線hは平面Pに垂直だから、△ABCの重心Gを通る

Gはもとの正四面体の内接球を平面Pで切った円の中心で、
h⊥Pだから、内接球の中心はh上にある
内接球は底面に接するから、内接球の中心から底面に下ろした垂線の足が接点だが、
これはHに一致するので、接点は底面の重心

とっさに考えたのでまだるっこしいなｗ