>>469
(e^2 が無理数であることの証明)

簡単な微分演算により，

x＞0 で 1＋x/1!＋x^2/2!＋...＋x^n/n! ＜ e^x
＜ 1＋x/1!＋x^2/2!＋...＋x^n/n!＋x^(n+1)・e^x/(n+1)!...②

②において x＝2 とおくと，

1＋2/1!＋2^2/2!＋...＋2^n/n! ＜ e^2
＜ 1＋2/1!＋2^2/2!＋...＋2^n/n!＋2^(n+1)・e^2/(n+1)!...③

e^2＝k/j (j，k は正の整数) とおけると仮定する．
m が正の整数のとき (2^m)!＝2^(2^m-1)・N(m) (N(m) は正の整数) とかけるので，
③において n＝2^m (m は正の整数) とし，辺々に j・N(m) をかけると，

j・N(m){1＋2/1!＋2^2/2!＋...＋2^(2^m)/(2^m)!}＜k・N(m)
＜j・N(m){1＋2/1!＋2^2/2!＋...＋2^(2^m)/(2^m)!}＋4j・e^2/(2^m+1)