>>46
「上に有界で単調増加する数列は収束する」を使えばいい。

・任意の自然数nに対して a[n]＜2 を示す。(とくに上に有界)
n=1のとき、a[1]=√2＜2
n=k(k:自然数)のとき、a[k]＜2 と仮定すると、
a[k+1]=(√2)^(a[k])＜(√2)^2＜2
よって数学的帰納法より 任意の自然数nに対して a[n]＜2

・与えられた数列が単調増加することを示す。
次の補題から直接従う(補題の証明は略。微分の問題の練習になる)

[補題]
任意の実数0＜x＜2に対して、
(√2)^x ＞ x　が成立する。

以上より、与えられた数列の収束性が示された。
収束値をαとすれば、0＜α≦2 であり、
α=(√2)^α の成立がいえる。
再び補題を用いれば α=2 であることがいえる。