S[1]:={1/2}
S[2]:={n[1]/2+1/2^2 | n[1]∈{0,1} }
…
S[i]:={n[1]/2+n[2]/2^2+…+n[i-1]/2^(i-1)+1/2^i | n[1],n[2],…,n[i-1]∈{0,1}}

S:=∪[i=1,∞]S[i]

とすれば、各S[i]の元の個数は有限なので、実数と自然数の全単射が作れます。