添削お願いします
iを虚数単位とし、xに関する方程式(1+i)x^2+(p-i)x+2p+2-i(p^2+p)=0…(*)が実数解を持つための実数pの条件を求めよ。

以下僕の答えです
(*)より(x^2+px+2p+2)+i(x^2-x-p^2-p)=0
x,pが実数のときx^2+px+2p+2,x^2-x-p^2-pは実数だから、
(*)が実数解を持つためには、x^2+px+2p+2=0…(1),x^2-x-p^2-p=0…(2)が共通解を持てばよい

(1)-(2)より(p+1)(x+p+2)=0…(3)
よって、p=-1またはx=-p-2
(i)p=-1のとき、(1)の解はx=0,1、(2)の解はx=0,1なので確かに共通解を持つ
(ii)p≠1のとき、(3)はただ1つx=-p-2を解に持つので、これが(1)(または(2))との共通解になればよい
x=-p-2を(1)に代入して解くとp=-3/2
以上、(i),(ii)より求めるpの条件はp=-1またはp=-3/2

よろしくお願いします