lim_[n→∞]Σ_[k=1,n]1/(n+k)

Σ_[k=1,n]1/(n+k)を先にnで表して、nを∞に飛ばす定石だろうな―とか思いながら

Σ_[k=1,n]1/(n+k)をnで表そうとしたのですが、うまくいきません。

その後、Σで出てくる項を一個一個並べたら、あーこれ全部の項が0に行くから和も0に

収束するんじゃねとか思ってみたのですが、それは違うかなと思ったのでここに質問しました。

教えてもらいたい事は、この問題を解く手法と、なぜ一項一項の収束先を考えて、和の収束先を決めてはいけないのか

ということについてです。おねがいします。