>離散空間って想像できない
全ての点が互いに1以上距離が離れてるような空間を想像すればいい

n次元空間というのを座標がn個ある空間だと考える
3次元空間の点は全部(1,2,3)とか(3,-2,10)とか座標3個で指定出来る点だと考えられる
ここで座標のうち1つだけが1で他が0の点は(0,0,1)と(0,1,0)と(1,0,0)の3つがある
この3つを揃えれば要素が3個の離散空間だ

座標が無限個ある空間だって考えられる
これまた同じように座標のうち1つだけが1で他が0の点を全部集めれば
要素が無限個の離散空間が出来上がる

>離散空間の任意の部分集合が開かつ閉集合である
あとこれは別に「任意の部分集合は開である」は定義そのまんまだし
「任意の部分集合は閉である」は
「任意の部分集合の捕集合は開である」「捕集合が開である集合は閉である」
を使えば導ける