数学用語を厳密に使うと
exp(z)=Σ[n=0→∞]　z^n/n!
のことで、全平面で一価関数。

e^z= exp(z log(e))

のことで、 exp(z)の逆関数として定まるlogは多価函数なので、
log e = 1+ 2πi n (nは任意の整数）
より、e^zは、nをどうとるかによって定まる「一価関数の無限個の列」になる。
e^zを一つの多価函数として解釈するのは誤り。

つまり
f_n(z) =exp ((1+ 2πi n)z) (nは任意の整数）
の全てが、e^zの意味になり、f_0(z)=exp(z).

そんなことをしても意味がないので、n=0と限定して、e^z=exp(z) と考える。