自然数をペアノの公理系を用いて定義する。

i. 0 ∈ Ｎ
ii. a ∈ Ｎ → suc(a) ∈ Ｎ
iii. suc(a) = 0 , not(a ∈ Ｎ)
iv. a ≠ b → suc(a) ≠ suc(b)
v. 数学的帰納法の原理

ここで、suc(0)を1、suc(1) = suc(suc(0))を2と呼ぶ。

和 + : Ｎ → Ｎ を以下のように定義する。

・ a + 0 = 0
・ a + suc(b) = suc(a + b)

1 + 1 = suc(0) + suc(0) = suc(suc(0) + 0) = suc(suc(0)) = 2

QED.