>>38
>>39
>>40
初等整数論スレに行けばよろし。

>>38
明らかにそのような組は無限に存在する。
たとえば zをmod 4で1になる素数pとしたとき、
x^2+y^2=p^2011 を満たす互いに素な正整数x,yの組が取れる。
そのことの証明は一言でいうならば 整数環Z[√-1]の中で考えればすぐ。

>>39
無限に存在しない。証明は略。(これは>>38より遥かに難しいが...)

>>40
これは一番簡単である。解が存在すると仮定する。
mod 3でみることで yが奇数であることがいえ、
mod 11でみることで、とくに xが偶数であることがいえる。
最後に mod2でみることで矛盾がみえる。
つまり、無限に存在するどころか 1個すら存在しない。