証明は易しい。

まず、厳密には、
2^X=卍
の解は元来存在しないが、
a^2 = -1
を満たすiや超関数のように
2^X=卍を満たすXを「導入」する。
これを頭が固い連中はそんなのは今までなかった、
トンデモだ!インチキだ!という。
こういうのは正しい学問の姿勢ではない。

で
Mを自然数から無限集合を引いた集合でなおも無限集合であるり、
さらに、十分大きいMの元が決定不能だとする。
この時、2^M(これは本来部分集合全体を表すが、この条件の時に限って)=卍
と^の演算を定義する。
すると、logの定義より、log卍=Mが出る。
ところで、素数全体の集合も
「自然数から無限集合を引いた集合でなおも無限集合である」
「十分大きい元が決定不能」
という条件を満たす。
したがって素数全体の集合の濃度はlog卍