命題
Setを小さい集合(過去スレ017の321)全体の圏とする。
Preordを小さい前順序集合全体の圏とする。
PreordはSet上の準具象圏(過去スレ019の794)である。
Preord の対象 X が完備(>>919)であるためには
X がPreordにおける単射的対象(過去スレ020の18)であることが必要十分である。

証明
必要性：
>>921で証明済みである。

十分性：
X がPreordにおける単射的対象であるとする。
ｆ：X → Down(X) (>>516) を f(x) = (-∞, x] (>>191)により定義する。
f は本質的に埋め込み(>>949)である。
Y = f(X) とおく。
選択公理より写像 g：Y → X で fg = 1_Y となるものがある。
y、z ∈ Y、y ≦ z のとき fg(y) = y ≦ z = fg(z)
f は本質的に埋め込みであるから g(y) ≦ g(z) である。
よって、g はPreordにおける射である。
m：Y → Down(X) を包含写像とする。
X は単射的対象であるからPreordにおける射 h：Down(X) → X で
g = hm となるものがある。
1_X 〜 gf (>>579) であるから 1_X 〜 hmf である。
>>948より Down(X) は完備であるから>>939より X は完備である。
証明終