命題
(X, f, g, Y) をGalois対応(>>642)とする。
X_0 = {x ∈ X； gf(x) 〜 x}
Y_0 = {y ∈ Y； fg(y) 〜 y}
とおく。
f の X_0 への制限を f_0 とする。
ι：Y_0 → Y を包含写像とする。
このとき gf(X) ⊂ X_0 であり、f 〜 ι(f_0)gf である。
即ち、同値関係 〜 を同一視すれば f：X → Y は

　gf　　f_0　　　ι
X → X_0 → Y_0 → Y

と分解される。

証明
>>662より gf は閉包作用子(>>632)である。
よって、任意の x に対して gfgf(x) 〜 gf(x)
よって、gf(x) ∈ X_0
よって、gf(X) ⊂ X_0 である。

>>656より、fgf 〜 f
よって、f 〜 ι(f_0)gf である。
証明終