>>658の修正

命題
(X, f, g, Y) をGalois対応(>>642)で、
Y が X の部分集合で g が包含写像とする。
このとき、

(1) gf は閉包作用子(>>632)である。
(2) Y は gf に関する閉元(>>650)全体の順序密(>>657)な部分集合である。

証明
(1)
>>645より、gf は単調増加(>>569)である。
>>644より、任意の x ∈ X に対して x ≦ gf(x)
>>656より、任意の x ∈ X に対して fgf(x) 〜 f(x)
よって、gfgf(x) 〜 gf(x)

以上から gf は閉包作用子である。

(2)
gf に関する閉元全体を C とする。
>>644より、任意の y ∈ Y に対して gf(y) = f(y) = f(g(y)) ≦ y
>>644より、y ≦ gf(y)
よって、gf(y) 〜 y
よって、Y ⊂ C

任意の x ∈ C に対して f(x) = gf(x) 〜 x
f(x) ∈ Y だから Y は C の順序密な部分集合である。
証明終