命題
(X, f, g, Y) をGalois対応(>>642)とする。
このとき以下が成り立つ。

(1) fgf 〜 f (>>655)

(2) gfg 〜 g (>>655)

証明
(1)
>>644より、任意の x ∈ X に対して x ≦ gf(x)
>>645より、f は単調増加であるから f(x) ≦ fgf(x)

>>644より、任意の y ∈ Y に対して fg(y) ≦ y
よって、任意の x ∈ X に対して y = f(x) とおけば、
fgf(x) ≦ f(x)

以上から fgf 〜 f

(2)
>>644より、任意の y ∈ Y に対して fg(y) ≦ y
>>645より、g は単調増加であるから gfg(y) ≦ g(y)

>>644より、任意の x ∈ X に対して x ≦ gf(x)
よって、任意の y ∈ Y に対して x = g(y) とおけば、
g(y) ≦ gfg(y)

以上から gfg 〜 g
証明終