命題
X を任意の集合とする。
P(X) を X の冪集合とする。
P(X) は包含関係により順序集合となる。
f：P(X) → P(X) を単調増加写像(>>558)上随伴(>>559) g を持つとする。
このとき X 上の２項関係 R があり、
任意の A ∈ P(X) に対して f(A) = R(A) (>>626) である。

証明
R = {(x, y) ∈ X×X； y ∈ f({x})} とおく。
任意の x ∈ X に対して f({x}) = R({x}) である。
任意の A ∈ P(X) に対して A = ∪{{x}； x ∈ A} である。
よって、>>584より、f(A) = ∪{f({x})； x ∈ A} である。
よって、f(A) = ∪{R({x})； x ∈ A} = R(A)
証明終