命題
X を前順序集合(過去スレ018の657)とする。
上随伴(>>559)を持つ単調増加写像(>>558) f：X → X 全体を Lad(X) とする。
f ∈ Lad(X) のとき f の上随伴(の一つ)を f+ と書く。
このとき、f 〜 f+ ⇔ f^2 〜 1 (>>579)

証明
f 〜 f+ ⇒ f^2 〜 1 の証明：
f 〜 f+ とする。
1 ≦ (f+)f 〜 f^2
よって、1 ≦ f^2

f^2 〜 f(f+) ≦ 1
よって、f^2 ≦ 1

よって、f^2 〜 1

f^2 〜 1 ⇒ f = f+ の証明：
f^2 〜 1 とする。
1 ≦ f^2 かつ f^2 ≦ 1 である。
よって、f 〜 f+
証明終