命題
C、D、E を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)とする。
次の関手を考える。

　　F　　　H
C　→　D　→　E
C　←　D　←　E
　　G　　　K

(F、G) と (H、K) は随伴状況(過去スレ019の362)とする。

このとき、(HF、GK) は随伴状況である。

証明
次の２変数の関手の自然同型(過去スレ018の144)がある。
Hom(F(X), M) ⇔ Hom(X, G(M))
Hom(H(M), S) ⇔ Hom(M, K(S))

よって、次の２変数の関手の自然同型がある。
Hom(HF(X), S) ⇔ Hom(F(X), K(S)) ⇔ Hom(X, GK(S))
よって、(HF、GK) は随伴状況である。
証明終