>>576の続き

X を前順序集合とする。
R = {(x, y) ∈ X×X； x ≦ y} とおく。
X を圏と見たとき R は X の射の集合と見なせる。
s：R → X を s(x, y) = x で定義する。
t：R → X を t(x, y) = y で定義する。
このとき、(X, R, s, t) は圏 X のグラフ |X| (過去スレ017の344)である。

X と Y を前順序集合とする。
関手 f：X → Y (過去スレ017の302)とは単調増加写像(>>569)のことである。
反変関手 f：X → Y (過去スレ017の305)とは単調減少写像(>>569)のことである。

関手 f：X → Y は全て忠実(過去スレ017の403)である。

関手 f：X → Y が充満(過去スレ017の403)とは、f(x) ≦ f(y) ⇒ x ≦ y となることである。

関手 f：X → Y が本質的に全射(過去スレ017の388)とは、
任意の y ∈ Y に対して x ∈ X で f(x) 〜 y (>>567)となるものが存在することである。

f: X → Y と g: X → Y を関手、即ち単調増加写像とする。
自然変換 τ：f → g があるとは、任意の x ∈ X に対して f(x) ≦ g(x) となることである。
このとき f ≦ g と書く。
X から Y への単調増加写像全体を Hom(X, Y) と書く。
Hom(X, Y) は関係 ≦ により前順序集合となる。