>>551は次のように改良される。

命題(Tarskiの不動点定理)
X を完備束(過去スレ018の914)とする。
f：X → X を単調増加(>>227)写像とする。
このとき Fix(f) (>>549)は空でない。
Fix(f) の任意の部分集合 A の X における下限および上限は Fix(f) に属す。
よって、Fix(f) は完備束である。
さらに Fix(f) の最小元は Pre(f) (>>549) の最小元であり、
Fix(f) の最大元は Post(f) (>>549) の最大元である。

証明
Fix(f) = Pre(f) ∩ Post(f) である。
即ち、M = Post(f) とおくと、Fix(f) = {x ∈ S； f(x) ≦ x}
>>553の双対から M は完備である。
よって、>>553から Fix(f) は完備である。

X の最大元は Pre(f) に属すから Pre(f) は空でない。
>>553から Pre(f) は完備だから最小元を持つ。
よって、>>552から Fix(f) の最小元は Pre(f) の最小元である。
よって、Fix(f) は空でない。

X の最小元は Post(f) に属すから Post(f) は空でない。
>>553の双対から Post(f) は完備だから最大元を持つ。
よって、>>552の双対から Fix(f) の最大元は Post(f) の最大元である。
証明終