命題
X を最小元を持つ上有向完備(>>537)な順序集合とする。
f：X → X を単調増加(>>227)写像とする。
Pre(f) (>>549)を f の前不動点全体(>>548)とする。
このとき、以下が成り立つ。

(1) f(Pre(f)) ⊂ Pre(f) である。

(2) A を Pre(f) の任意の空でない部分集合で X における A の下限 inf A が存在するなら
inf A ∈ Pre(f) となる。

(3) Pre(f) に最小元 α が存在するなら α は Fix(f) (>>549) の最小元でもある。

証明
(1) x ∈ Pre(f) のとき f(x) ≦ x
よって、f(f(x)) ≦ f(x)
よって、f(x) ∈ Pre(f)
よって、f(Pre(f)) ⊂ Pre(f) である。

(2) α = inf A とおく。
任意の x ∈ A に対して α ≦ x
よって、f(α) ≦ f(x) ≦ x
よって、f(α) ≦ α
よって、α ∈ Pre(f)

(3) α ∈ Pre(f) だから f(α) ≦ α である。
(1) より f(α) ∈ Pre(f) だから α ≦ f(α) である。
よって、f(α) = α
よって、α ∈ Fix(f)
Fix(f) ⊂ Pre(f) だから α は Fix(f) の最小元である。
証明終