命題
X を集合とする。
Γ を X における集合環(過去スレ007の189)とする。
Γ は ∩ を乗法、対称差(過去スレ007の191)を加法とすることにより
（単位元をもつとは限らない）可換環となる。

証明
X の部分集合 A と B の対称差を AΔB と書くことにする。
A, B, C ∈ Γ とする。

AΔB = BΔA
(AΔB)ΔC = AΔ(BΔC)
AΔφ = φΔA = A
AΔA = φ
よって、Γ は演算 Δ によりアーベル群となる。

(A∩B) = (B∩A)
(A∩B)∩C = A∩(B∩C)
A∩(CΔD) = A∩((C - D) ∪ (D - C)) = (A∩C - A∩D) ∪ (A∩D - A∩C) = (A∩C)Δ(A∩D)

以上から Γ は可換環である。
証明終