命題
S と T を順序集合とし、f：S → T を残余(>>470) g を持つ写像とする。
このとき以下が成り立つ。

(1) fgf= 1

(2) gfg = 1

証明
(1)
任意の x ∈ S に対して x ≦ gf(x)
よって、f(x) ≦ fgf(x)

任意の y ∈ T に対して fg(y) ≦ y
よって、任意の x ∈ S に対して y = f(x) とおけば、
fgf(x) ≦ f(x)

以上から fgf(x) = f(x)
即ち、fgf = 1

(2)
任意の y ∈ T に対して fg(y) ≦ y
よって、gfg(y) ≦ g(y)

任意の x ∈ S に対して x ≦ gf(x)
よって、任意の y ∈ T に対して x = g(y) とおけば、
g(y) ≦ gfg(y)

以上から gfg(y) = g(y)
即ち、gfg = 1
証明終