失礼します。数列の問題です。

ア、イ、ウ、エにあてはまる数を求めよ。
1000以下の自然数で、3の倍数であり、
かつ5で割った余りが2となるものは、小さいほうから並べると、初項《ア》
、項差《イ》、項数《ウ》の等差数列となり、その総和は《エ》である。

回答では、
3の倍数であり、５で割った余りが2の自然数をxとする。
xは s,tを自然数として次のように表される。
x=3s=5t+2・・・・・・・・・・・・・・・・・・①
よって　3s=5t+(5-3)
ゆえに　3(s+1)=5(t+1)・・・・・・・・・・・・②
3と5は互いに素であるから、s+1は5の倍数である。
よってm+1=5nとおけて
x=3m=3(5n-1)=15n-3 ・・・・・・・・・・・・・③
1≦x≦1000　であるから 1≦15n-3≦1000
nは自然数であるから 1≦n≦66
したがって初項12 項差15 項数66で,和は1/2*66{2*12+(66-1)*15}=32967

となっています。
自分は①の 3s,5t+2を一まとめにした式が③の15n-3
であるということはわかるのですが、なぜ①～③の手順で3の倍数であり、
５で割った余りが2の自然数である15n-3を導くことができるのかわかりません。

初めてなので、いろいろとわかりにくくなってしまっていると思いますが、
よろしくお願いします。