k-vecをCと書く。
⊗:C×C->Cは次を満たす。
(1)U,V,W∈Cに対して
U⊗(V⊗W)≅(U⊗V)⊗W
が成り立つ。このU,V,Wを与えるごとに決まる同型(の適当なもの)をα_{U,V,W}と書く。
これは、圏と関手で言えば
　　　1_C×⊗　　⊗
C×C×C -> C×C -> C　と

　　　⊗×1_C　　⊗
C×C×C -> C×C -> C　の間に
αによって自然変換が与えられるということ。
(自然変換は、関手のdomainごとに決まるものであったことに注意する。)
(2)⊗は左単位元および右単位元(に相当するもの)を持つ。
つまり、あるI∈Cが存在して、U∈Cに対して
U⊗I≅U,I⊗U≅Uである。このUを決めるごとに決まる二つの同型(の適当なもの)を
ρ_U,λ_Uと書く。(right,left)
これは、
C-> T×C -> C×C -> C と1_Cの間に
λによって自然変換が与えられるという主張である。
ただし、Tは1つの射と対象からなる圏。
さらに、α、λ、ρとして以下に示すコヒーレンス条件を満たすものがある。