ここで、可換群の構造が入るとは、次の公理を満たすということである。
☆ H=Hom_{Z-mod}(X,Y)とおくと、ある写像
μ:H×H -> H (2項演算)
ι:H->H (1項演算)
η:{1} -> H (0項演算)
の組が存在して、次の図式を可換にする。
(1)結合法則：
　　　　　1_H×μ
　　H×H×H -> H×H
μ×1_H↓　　　↓μ
　　　H×H -> 　H
　　　　　 μ
(2)単位元(単位射)の存在：
　　　　　 μ　　μ
　　　H×H -> H <- H×H
η×1_H↑　　 ||　　　↑1_H×η
　　{1}×H -> H　<- H×{1}
　　　iso(右射影)　iso(左射影)
(これはH×H->μをまとめて、H=Hを消して三角形2つの形で述べられることが多い)
(3)逆元の存在：
　　　　　 μ　　μ
　　　H×H -> H <- H×H
ι×1_H↑　　 ||　　　↑1_H×ι
　　　H×H <- H　-> H×H
　　　　　 d　　　d
ただし、d:H->H×Hはhを(h,h)に移す写像(diagonal map)である。☆ここまで群の公理