しかし、cat(X)は実は次で与えられる圏Cと同値である。

Cのobject：{空集合,{1},{1,2},…,{1,2,…,n}}
射：写像

どういうことか説明しよう。
cat(X)のobject A(∈2^X)を、 Cの個数の同じobject F(A) (={1,2,…,|A|})に
「適当なAごとに決まる全単射iso_A:A->F(A)を通して」対応させる。
この「適当なAごとに決まる全単射iso_A:A->F(A)を通して」というのは、
Homの対応をこのiso_Aを通して与えるということである。
関手Fは、objectの間だけではなく
Hom(A,B)とHom(F(A),F(B))の間の対応も与えなければならないので、
それを具体的に与えるために今はiso_Aというものを考えたのである。
とくに、話を分かりやすくするために{空集合,{1},{1,2},…,{1,2,…,n}}上では
identityになるようにしておこう。
これが実際に関手を与えることは、関手の定義に照らして計算してみればわかる。