kを体として、数ベクトルの空間のなす圏を考えて、これをk-NVecとする。
（ただし、次元を決めたとき、各次元の数ベクトルはひとつしか存在しないと思う。
ちなみに対象の間の射はk-線形写像。）
これとは別に、k-Vecをk上のベクトル空間全体のなす圏とする。
(つまり素朴にはk-NVecより「大きい」。)
そうすると、k-Vecからk-NVecへの関手が、
「各ベクトル空間の基底を次元の同じ数ベクトル空間の普通の基底に移す」
ことで定まる。
逆にk-NVecからk-Vecへの関手が、単なる埋め込みによって定まる。
これは今与えた関手によって同値な圏だが、簡単に分かるように「同じ」ではない。
（詳しくは圏の骨格を検索すべし。）


k-Vecからk-Vecへの(反変)関手を、ベクトル空間Vをその双対V^*に、
f:V->Wをその双対写像f^*:W^*->V^*に移すことで定義できる。
実際、f∈Hom(V,W)であったのがf∈Hom(W^*,V^*)と「反対」になっていて、
他の関手の公理をみたすことが分かる。
この関手をF=*と書けば、関手Gとしてやはり*を取るとGF(V)はVと同型になっていて、
ここで同型写像iso_Vたちをうまく取ることでf:V->WとGF(f):GF(V)->GF(W)はiso_Vで「同一視」できる。
つまり、
　　　f
V　　->　W
↓iso_V　↓iso_W
GF(V)->GF(W)
　　GF(f)
が可換になる。(当然だが、FGも同じ図式を可換にする。)

このように、A,Bを圏として反変関手F:A->BおよびG:B->Aが存在して、
GF(a)とaが同型で、aごとに決まる同型iso_aによって上の図式が可換
FG(b)とbが同型で、bごとに決まる同型iso_bによって上の図式が可換
なるときA,Bは圏双対であるという。
(これはid_AとGFが自然同型で、id_BとFGが自然同型、とも言える。)