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Z を有理整数環とする。
M をモノイドとする。
M で生成される Z 上の自由加群を Z[M] とする。
Z[M] の２元 x, y の乗法 xy を M の乗法を線型に拡張することにより定義する。
即ち、x = Σa_ix_i と y = Σb_iy_i を Z[M] の元としたとき
xy = Σa_ib_jx_iy_j と定義する。
このとき Z[M] は環となる。
これを M の Z 上のモノイド環と呼ぶ。

モノイド M から環 A の乗法モノイドへの準同型 f：M → A があるとする。
このときモノイド環 Z[M] から A への準同型 g で f の拡張になっているものが一意に存在する。
これは g(Σa_ix_i) = Σa_if(x_i) と定義すればよい。

これを圏論の言葉で翻訳すると次のようになる。

Rng を環の圏とする。
Rng における射としては単位元を単位元に移すものとする。
Mon をモノイドの圏とする。
A ∈ Rng のとき A を乗法モノイドとみたものを U(A) と書く。

M ∈ Mon
A ∈ Rng
のとき上記から全単射 ψ：Hom(Z[M], A) → Hom(M, U(A)) が存在する。
ψ は M と A に関して自然である。
よって、M に Z[M] を対応させる関手は U の左随伴関手である。