圏論好き集まれ
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0001１３２人目の素数さん
2010/12/15(水) 00:21:300002猫はなりすまし ◆MuKUnGPXAY
2010/12/15(水) 00:21:510003１３２人目の素数さん
2010/12/15(水) 00:28:360004１３２人目の素数さん
2010/12/15(水) 00:29:37「射（morphism）」とよばれる要素からなる集合 Hom(X, Y) が指定されていて、f ∈ Hom(X, Y)
と g ∈ Hom(Y, Z) に対してはその「合成」とよばれる射 gf が定められていて、以下の３条件を
満たしているときこれらの総合概念 C を 圏（category）とよぶ。
（Cat 1） 射の合成は結合法則 h(gf) = (hg)f をみたす.
（Cat 2） 任意の対象 X に対して ∃ε∈Hom(X, X) ∀f∈Hom(X, Y)∀g∈ Hom(Z, X), fε=f, εg=g
（Cat 3） 対象のペア (X, Y), (X', Y') が異なる ⇒ Hom(X, Y) ∩ Hom(X', Y') = φ
0005猫はCat ◆MuKUnGPXAY
2010/12/15(水) 00:31:420006１３２人目の素数さん
2010/12/15(水) 09:59:26知ってる人いる？
0007１３２人目の素数さん
2010/12/15(水) 10:21:460008１３２人目の素数さん
2010/12/15(水) 13:10:490009１３２人目の素数さん
2010/12/15(水) 17:24:150010１３２人目の素数さん
2010/12/15(水) 17:45:11いや問題発生でみれないです
0011１３２人目の素数さん
2010/12/15(水) 18:38:520012１３２人目の素数さん
2010/12/16(木) 00:19:210013１３２人目の素数さん
2010/12/16(木) 01:57:090014１３２人目の素数さん
2010/12/16(木) 02:03:40これは英語？
日本語にしてくれよｗ
0015１３２人目の素数さん
2010/12/16(木) 02:39:12まずどんな圏を考察するんだぜ
0016１３２人目の素数さん
2010/12/16(木) 06:58:130017１３２人目の素数さん
2010/12/16(木) 16:21:360018１３２人目の素数さん
2010/12/16(木) 22:45:390019１３２人目の素数さん
2010/12/16(木) 23:15:080020１３２人目の素数さん
2010/12/16(木) 23:21:590021１３２人目の素数さん
2010/12/16(木) 23:25:59集合Sを集合Sを基底とする線型空間に対応
0022１３２人目の素数さん
2010/12/16(木) 23:28:57使うための道具であってそれ自体研究する内容なんてほとんどない。
0023１３２人目の素数さん
2010/12/16(木) 23:37:070024１３２人目の素数さん
2010/12/16(木) 23:40:320025１３２人目の素数さん
2010/12/16(木) 23:41:240026１３２人目の素数さん
2010/12/16(木) 23:46:250027１３２人目の素数さん
2010/12/17(金) 00:00:010028１３２人目の素数さん
2010/12/17(金) 23:54:390029１３２人目の素数さん
2010/12/18(土) 01:58:180030１３２人目の素数さん
2010/12/18(土) 13:23:590031１３２人目の素数さん
2010/12/18(土) 17:03:040032１３２人目の素数さん
2010/12/18(土) 17:26:310033１３２人目の素数さん
2010/12/19(日) 13:58:260034１３２人目の素数さん
2010/12/19(日) 14:01:040035１３２人目の素数さん
2010/12/19(日) 14:26:25数学的には無定義語？
0036１３２人目の素数さん
2010/12/19(日) 14:28:350037１３２人目の素数さん
2010/12/20(月) 04:46:48（ただし、次元を決めたとき、各次元の数ベクトルはひとつしか存在しないと思う。
ちなみに対象の間の射はk-線形写像。）
これとは別に、k-Vecをk上のベクトル空間全体のなす圏とする。
(つまり素朴にはk-NVecより「大きい」。)
そうすると、k-Vecからk-NVecへの関手が、
「各ベクトル空間の基底を次元の同じ数ベクトル空間の普通の基底に移す」
ことで定まる。
逆にk-NVecからk-Vecへの関手が、単なる埋め込みによって定まる。
これは今与えた関手によって同値な圏だが、簡単に分かるように「同じ」ではない。
（詳しくは圏の骨格を検索すべし。）
k-Vecからk-Vecへの(反変)関手を、ベクトル空間Vをその双対V^*に、
f:V->Wをその双対写像f^*:W^*->V^*に移すことで定義できる。
実際、f∈Hom(V,W)であったのがf∈Hom(W^*,V^*)と「反対」になっていて、
他の関手の公理をみたすことが分かる。
この関手をF=*と書けば、関手Gとしてやはり*を取るとGF(V)はVと同型になっていて、
ここで同型写像iso_Vたちをうまく取ることでf:V->WとGF(f):GF(V)->GF(W)はiso_Vで「同一視」できる。
つまり、
f
V -> W
↓iso_V ↓iso_W
GF(V)->GF(W)
GF(f)
が可換になる。(当然だが、FGも同じ図式を可換にする。)
このように、A,Bを圏として反変関手F:A->BおよびG:B->Aが存在して、
GF(a)とaが同型で、aごとに決まる同型iso_aによって上の図式が可換
FG(b)とbが同型で、bごとに決まる同型iso_bによって上の図式が可換
なるときA,Bは圏双対であるという。
(これはid_AとGFが自然同型で、id_BとFGが自然同型、とも言える。)
0038sage
2010/12/20(月) 10:35:30k-ベクトル空間全体のなす圏とMat_n(k)加群全体のなす圏が挙げられる。
0039１３２人目の素数さん
2010/12/20(月) 12:05:530040１３２人目の素数さん
2010/12/20(月) 17:42:220041１３２人目の素数さん
2010/12/20(月) 17:55:08それともk-Vectは初めから規定も指定されてる圏なの？
それならそんなのtrivialだよね。
0042１３２人目の素数さん
2010/12/20(月) 18:44:280043１３２人目の素数さん
2010/12/20(月) 19:20:57いや，各ベクトル空間について基底を一つ決めたらwell-defってことだよ．
例がtrivialだというなら，それは申し訳ないけれど，圏の骨格という概念はそういうものだよ．
（もちろん，一般の圏同値が骨格になっているというわけではない．
ただ，圏同値と圏同型の違いを強調したかった．）
http://en.wikipedia.org/wiki/Skeleton_(category_theory)
0044１３２人目の素数さん
2010/12/20(月) 20:15:20これって可能なの？選択公理よりかなり強い公理が必要だと思うが。
0045１３２人目の素数さん
2010/12/20(月) 20:35:33選択公理があればベクトル空間に基底は存在するから、
適当な制限で小さい圏にすれば選択公理だけでよい。
有限個のベクトル空間による充満部分圏と、
それを更に同一次元の対象が一つしかない圏を取れば、
選択公理なしで同じ議論ができる。
0046１３２人目の素数さん
2010/12/20(月) 23:29:23全部をあらかじめきめとかなきゃいかんわけでしょ？
0047１３２人目の素数さん
2010/12/21(火) 00:11:44小さい圏にすれば選択公理で選択すればいいと思うのだけど。
特に有限個で有限次元にしてしまえば、選択公理すらいらなくなる、という話。
0048１３２人目の素数さん
2010/12/21(火) 00:25:570049１３２人目の素数さん
2010/12/21(火) 01:09:36>>46の「あらかじめ」という言葉の意味を数学的に説明してくれますか？
>>45で言っているのは、小さい圏、例えば有限次元k-ベクトル空間の圏k-vecを取ってくると、
ベクトル空間Vごとに基底たちのなす集合B_Vが取れますが、
k-vecの対象は集合なので、選択公理が適用できてB_Vから
一つの元を選ぶことで写像V|->b(b\in B_V)が作れます。
この基底を数ベクトル空間の普通の基底と自然に対応させれば、
有限次元数k-ベクトル空間への関手が構成できて、この関手は圏同値である
（とくに数ベクトル空間の圏は数と限らない方の骨格）
ということです。（別に基底を取らずに直接同型V->k^mから一つを選んでも一緒ですが。）
0050１３２人目の素数さん
2010/12/21(火) 01:24:280051１３２人目の素数さん
2010/12/21(火) 01:29:260052１３２人目の素数さん
2010/12/21(火) 04:13:00X={1,2,…,n}として、Xの部分集合全体を2^Xと表す。
圏cat(X)が次で定まる。
object：2^Xの元(つまりXの部分集合がobject)
射：写像
つまり、例えばHom({1,2},{1,3})は
f(1)=1,f(2)=1なる写像fと
g(1)=1,g(2)=3なる写像gと
h(1)=3,h(2)=1なる写像hと
i(1)=3,i(2)=3なる写像iの
4つの写像からできている。
この圏と、同様にして定まる圏cat(Y={0,1,…,n-1})は
自然な意味で圏として同型であることは明らか。
同型を与える関手としては、例えば数を1ずつずらすとか、あるいはnを0と思うとか、
そういった対応から与えられる関手が考えられる。
0053１３２人目の素数さん
2010/12/21(火) 04:14:14Cのobject：{空集合,{1},{1,2},…,{1,2,…,n}}
射：写像
どういうことか説明しよう。
cat(X)のobject A(∈2^X)を、 Cの個数の同じobject F(A) (={1,2,…,|A|})に
「適当なAごとに決まる全単射iso_A:A->F(A)を通して」対応させる。
この「適当なAごとに決まる全単射iso_A:A->F(A)を通して」というのは、
Homの対応をこのiso_Aを通して与えるということである。
関手Fは、objectの間だけではなく
Hom(A,B)とHom(F(A),F(B))の間の対応も与えなければならないので、
それを具体的に与えるために今はiso_Aというものを考えたのである。
とくに、話を分かりやすくするために{空集合,{1},{1,2},…,{1,2,…,n}}上では
identityになるようにしておこう。
これが実際に関手を与えることは、関手の定義に照らして計算してみればわかる。
0054１３２人目の素数さん
2010/12/21(火) 04:15:56（これが関手なることもやはり公理の確認の計算をしてみればわかる。）
そうすると、次のことがわかる。
１：A,Bをcat(X)のobjectとするとき
f
A -> B
↓iso_A ↓iso_B
GF(A)->GF(B)
GF(f)
は可換。
２：A,BをCのobjectとするとき
f
A -> B
↓id_A ↓id_B
FG(A)->FG(B)
FG(f)
は可換。
一般に、この共変関手F,Gが１と２を満たすときに、二つの圏は同値であるという。
これをベクトル空間でやったのが>>37の前半の話。
0055１３２人目の素数さん
2010/12/21(火) 08:05:30シュプリンガーの奴がいいすか
0056１３２人目の素数さん
2010/12/21(火) 08:17:420057１３２人目の素数さん
2010/12/21(火) 11:31:050058１３２人目の素数さん
2010/12/21(火) 11:33:150059１３２人目の素数さん
2010/12/21(火) 20:55:130060猫は悪魔 ◆MuKUnGPXAY
2010/12/22(水) 12:19:420061１３２人目の素数さん
2010/12/22(水) 12:46:53G:群とすると、Gは次で圏C_Gと思える：
C_Gの対象：{e}
C_Gの射：Hom(e,e)=G,射の合成を群演算と思う
このとき、C_Gの任意の射はisomorphismである。
また、C_GとC_Hをとると、任意の群準同型から関手が得られる。
この関手が圏同値を導くので、任意のC_Gは圏同値。
0062１３２人目の素数さん
2010/12/22(水) 15:57:26双対圏って矢印ひっくり返すだけ。
0063１３２人目の素数さん
2010/12/22(水) 15:59:250064１３２人目の素数さん
2010/12/22(水) 16:59:11圏双対と双対圏は違うと思われ。
（>>6ではequivalenceと並べて書いてあるから、dualじゃなくてduality of categoriesだと思う）
0065１３２人目の素数さん
2010/12/22(水) 17:11:38http://www1.ezbbs.net/cgi/reply?id=dslender2&dd=19&re=40988
0066１３２人目の素数さん
2010/12/22(水) 17:47:52> i) 一個の対象からなる圏 C と、二個の対象からなる圏 C' で、圏同型ではないが圏同値なる物がある。
> ii) 体 K 上の有限次元ベクトル空間と K-準同型からなる圏はその双対圏に圏同値である。
> iii) 有限集合の圏はその双対圏と圏同値でない。
このi)とii)にあたる話はすでに>>37,>>52-54で出ているが、
iii)のような自己双対でない圏の簡単な例は挙げていないので、確認してみよう。
特に分かりやすい例として、ただ一つの元からなる集合から出ている矢と入る矢を元の圏と双対で比べてみよう。
0067１３２人目の素数さん
2010/12/22(水) 17:55:170068１３２人目の素数さん
2010/12/23(木) 14:18:31ベクトル空間VからWへの線形写像は、その基底の移る先を決めると一意に定まるのであった。
とくに、Vの基底B_VとWの基底B_Wをとり、B_VからB_Wへの写像を与えると、
(これらの基底について写像を行列表示すれば成分には1と0ばかりの)線形写像VからWが定まる。
>>21は、(適当な)集合の圏をとって、そのobjectを基底とするようなベクトル空間を考え
今述べた対応を与えることで関手が得られるという話である。
(ちなみに、この基底と集合の対応を少し捻っても、やはり関手が得られる。)
圏Cから圏Dへの関手というのは、今の例のように
「ある圏C(の射)から決まった操作で別の圏Dの射を作ること」
と思うこともできる。
基底での振る舞いを考えると全体での振る舞いがわかるとか、
生成元での振る舞いを考えると全体での振る舞いがわかるという場合はたくさんある。
例えば、上のベクトル空間のかわりに、その集合を台とする自由(テンソル)代数をとると、
やはり同様の関手（集合から適当な代数の圏への関手）が得られる。
集合の生成する自由群にしてもよい。
（自由加群にすると、上のベクトル空間の圏をZ-加群の圏にしたものである。）
0069１３２人目の素数さん
2010/12/23(木) 15:54:54整域には、(任意の整域で定義されている)「商体をつくる」という操作があった。
整域と、その間の環準同型からなる圏をC'とし、体の間の環準同型からなる圏をDとしよう。
C'の対象Rに対し、Dの対象F(R)をその商体として定めることができる。
しかし、このままでは射をうまく対応させることができず、関手にはならない。
というのは、例えばR=Z,R'=Z/2Zとすると、R->R'なる自然な全射環準同型があるが、
各々の商体Q,Z/2Zの間には環の準同型は存在しない。
これを解決するためには、C'の代わりに
「整域と、その間の『単射』環準同型からなる圏」Cをとればよい。
そうすると、商体をとるという操作は期する通りに関手になるのである。
（ということは本当は非自明なので、もちろん適当にチェックする必要はあるが。）
0070１３２人目の素数さん
2010/12/23(木) 19:40:230071１３２人目の素数さん
2010/12/23(木) 23:48:130072猫と貉は別物 ◆MuKUnGPXAY
2010/12/24(金) 17:26:03■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
■■■■■■■ このスレは他板・他スレ運営妨害の非常に悪質糞スレの為に ■■■■■■
■■■■■■■反感を買って終了しました。 皆様のご愛顧有難う御座いました■■■■■■
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猫
0073１３２人目の素数さん
2010/12/24(金) 18:48:260074猫と貉は別物 ◆MuKUnGPXAY
2010/12/24(金) 19:05:21■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
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猫
0075１３２人目の素数さん
2010/12/26(日) 08:04:08Cのobject cに対して、Dのobject F(c)およびG(c)が定まるが、
このF(c)とG(c)が「直接は違うモノだが同型である」という場合は、
上でも見たようにしばしば存在する。
一般に、このような状況を定式化した自然変換というものを考える。
定義：
ηを、cに対してDの射F(c)->G(c)を対応させる写像とする。
任意のCの対象c,c'とCの射f:c->c'に対して
次の図式が可換になるとき、ηは自然変換であるという。
η(c)
F(c) -> G(c)
↓F(f) ↓G(f)
F(c')->G(c')
η(c')
η(c)はしばしばη_cなどと書かれたりする。
Cの対象で添字付けられたDの写像の族と思う、ということ。
ただ、「cに対してDの射F(c)->G(c)を対応させる写像」
というよりは、cに対してDのobject F(c)とG(c)を選んで、
さらにそのobjectの「中身の」対応を与えるためにDの射F(c)->G(c)を選ぶ、
というような「気持ち」がある。
(もちろん、一般の圏に「中身」なるものは存在しないが)
0076１３２人目の素数さん
2010/12/26(日) 08:28:03(さらにF,Gが自然同型である)というのであった。
すでに少し述べたが、CとDを圏として、F:C->DおよびG:D->Cが存在して、
GF:C->Cがid_Cと自然同型かつFG:D->Dがid_Dと自然同型であるとき、
FおよびGが共変関手なら圏同値、FおよびGが反変関手なら圏双対と呼ぶのであった。
>>53でも軽く述べているように、関手というのは
「HomとHomの間によい対応を与えるもの」と捉えてよい。(というか定義からそうなのだが。)
そこでHomとHomの間の対応の仕方によって関手を類別するのは自然である。
C,Dを圏、関手F:C->Dが与えられたとする。
Fが忠実関手であるとは、任意のCのobject X,Yについて
Hom_C(X,Y)->Hom_D(F(X),F(Y))
f |-> F(f)
が単射になる時のことをいう。
Fが充満関手であるとは、任意のCのobject X,Yについて
上の写像が全射になる時のことをいう。
（注意：簡単にわかるように、X,Yを動かしたりHom_D(-,-)全体で考えたりすると
単射や全射が崩れるが、それでも関手としては忠実・充満という場合もある。
例えば骨格などを考えるとよい。）
0077１３２人目の素数さん
2010/12/27(月) 01:19:22というと少々語弊があって、例えばHom_C(X,X)にはそれ自身の合成というものが定義されているが、
X≠Yの場合たとえばHom_C(X,Y)で閉じた演算などというものはない。
しかし、Hom_C(X,Y)にある種の性質が備わっているという場合がしばしばある。
例えば(Z-)加群の(小さい)圏をZ-modと書くことにすると、
Hom_{Z-mod}(X,Y)には、X,Yをfixしたとき「よく知られたとおり」可換群の構造が入る。
0078１３２人目の素数さん
2010/12/27(月) 01:21:22☆ H=Hom_{Z-mod}(X,Y)とおくと、ある写像
μ:H×H -> H (2項演算)
ι:H->H (1項演算)
η:{1} -> H (0項演算)
の組が存在して、次の図式を可換にする。
(1)結合法則：
1_H×μ
H×H×H -> H×H
μ×1_H↓ ↓μ
H×H -> H
μ
(2)単位元(単位射)の存在：
μ μ
H×H -> H <- H×H
η×1_H↑ || ↑1_H×η
{1}×H -> H <- H×{1}
iso(右射影) iso(左射影)
(これはH×H->μをまとめて、H=Hを消して三角形2つの形で述べられることが多い)
(3)逆元の存在：
μ μ
H×H -> H <- H×H
ι×1_H↑ || ↑1_H×ι
H×H <- H -> H×H
d d
ただし、d:H->H×Hはhを(h,h)に移す写像(diagonal map)である。☆ここまで群の公理
0079１３２人目の素数さん
2010/12/27(月) 01:22:19μ
H×H -> H
↓τ ||
H×H -> H
μ
ただし、τ:H×H->H×Hは(x,y)->(y,x)で定まる交換写像である。★
この場合、Hom_{Z-mod}(X,Y)という集合に上で定めたような構造が入る、ということが重要である。
具体的には、f,g∈Hom_{Z-mod}(X,Y)に対して f+g∈Hom_{Z-mod}(X,Y)を
(f+g)(x)=f(x)+g(x)と定義できるのであった。
というのも、実際に
(f+g)(x+y)=f(x+y)+g(x+y)=f(x)+f(y)+g(x)+g(y)=(f+g)(x)+(f+g)(y)
となってf+gという写像は確かに可換群の凖同型を与えているのである。
(余談だが、これは実は積の展開をやっているのと全く同じ式変形である。)
このように、圏Cの始点Xと終点Yを固定した射Hom_C(X,Y)がある種の「構造」を持つ場合について
いろいろな考察を加えたのがEnriched categoryである。
0080１３２人目の素数さん
2010/12/27(月) 14:50:17一般に、モノイドが与えられたとき、モノイドから対象が1つの圏を作ることができる。
ただし、モノイドとは>>78の(1),(2)を満たす組(H,μ,η)のことである。
群の場合、各射は同型のみになるが、モノイドに対応する圏の射には必ずしも同型でないものが存在する。
たとえば、{1,x,x^2,...}という集合は普通の積でモノイドの構造が入るが、x^mを1に「もどす」ことはできない。
さて、いま逆にある圏Cから対象Xを一つとってきてHom_C(X,X)を考えると、これはモノイドと思える。
(対象Xからなる充満部分圏を取るとモノイドの与える圏と同値、とも言える。)
0081１３２人目の素数さん
2010/12/27(月) 16:28:10テンソル積について話をしよう。
Hom_C(X,Y)たちがある種の「構造」を持つ場合について話をしようということだったのだが、
ベクトル空間の圏のテンソル積という「演算」について考えてみる。
以下、Hom_{k-vec}を単にHomと書く。
Hom(T,U)⊗Hom(V,W)とHom(T⊗V,U⊗W)はベクトル空間としての同型である。
今は同じテンソル積なので見にくいが、Hom(T,U)⊗Hom(V,W)は「射についてのテンソル」で、
Hom(T⊗V,U⊗W)の中身のT⊗V,U⊗Wは「対象についてのテンソル」である。
これをあえて区別して
Hom(T,U) ⊗_m Hom(V,W) ≅ Hom(T ⊗_o V,U ⊗_o W)
と書くことにしよう。
いまは、Hom(T,U)にもHom(V,W)にもベクトル空間の構造があって、
それによって⊗_mという「演算」を考えることができたのだが、
Homのベクトル空間の構造はあまり気にせず、⊗_mを
(1)単なるHom(T,U)とHom(V,W)から別の集合 Hom(T,U) ⊗_m Hom(V,W)を作り、さらに
(2)Hom(T,U)の元とHom(V,W)の元を「うまく対応させる」ものだ
とだけ思うことにしよう。
（もちろん、その「うまく対応させる」というのはベクトル空間の構造から来ているものなのだが。）
ここで更に、別の集合Hom(T,U) ⊗_m Hom(V,W)というのは
Hom(T ⊗_o V,U ⊗_o W)のことだと「定義」することにしよう。
つまり、Hom(T,U) ⊗_m Hom(V,W)というのは(単なる普遍性を持つ空間ではなく)
Hom(T ⊗_o V,U ⊗_o W)のことだと思うことにするのである。
そうすると、⊗:C×C->Cは関手を与えることになる。
(ただし、C×Cというのは、objectの組をobjectとし、射の組を射とする圏である。)
この関手が、次に述べる「モノイドの公理と類似の性質」を持つのである。
0082１３２人目の素数さん
2010/12/27(月) 17:23:080083１３２人目の素数さん
2010/12/27(月) 18:42:43⊗:C×C->Cは次を満たす。
(1)U,V,W∈Cに対して
U⊗(V⊗W)≅(U⊗V)⊗W
が成り立つ。このU,V,Wを与えるごとに決まる同型(の適当なもの)をα_{U,V,W}と書く。
これは、圏と関手で言えば
1_C×⊗ ⊗
C×C×C -> C×C -> C と
⊗×1_C ⊗
C×C×C -> C×C -> C の間に
αによって自然変換が与えられるということ。
(自然変換は、関手のdomainごとに決まるものであったことに注意する。)
(2)⊗は左単位元および右単位元(に相当するもの)を持つ。
つまり、あるI∈Cが存在して、U∈Cに対して
U⊗I≅U,I⊗U≅Uである。このUを決めるごとに決まる二つの同型(の適当なもの)を
ρ_U,λ_Uと書く。(right,left)
これは、
C-> T×C -> C×C -> C と1_Cの間に
λによって自然変換が与えられるという主張である。
ただし、Tは1つの射と対象からなる圏。
さらに、α、λ、ρとして以下に示すコヒーレンス条件を満たすものがある。
0084１３２人目の素数さん
2010/12/28(火) 16:30:28U⊗(V⊗W)←(U⊗V)⊗W
α_{U,V,W}
とする。あるいは、同じことだが
(U⊗V)⊗W→U⊗(V⊗W)
α_{U,V,W}
である。
さて、
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1290575668/53-54
でも書いているように、4つの項T,U,V,Wをこの順に並べたときの2項演算の結合の仕方は
(((T,U),V),W)
((T,(U,V)),W)
(T,((U,V),W))
((T,U),(V,W))
(T,(U,(V,W)))
の5通りあり、これは((P,Q),R)<->(P,(Q,R))という「括弧の付け替え」なる自然な操作によって
互いに移り変わる。
上の5個を頂点とし、括弧の付け替えを辺と思うと５角形ができる。
一般に、項の数をnにしても頂点がカタラン数個の多面体(と解釈できるグラフ)ができることが知られており、
これをassocia-hedronまたはStasheff Polytopeという。
話がそれてしまったが、この付け替えによってαが良い性質を満たす、というのがコヒーレンス条件の一つである。
0085１３２人目の素数さん
2010/12/28(火) 16:37:01任意のT,U,V,W∈k-vecに対し
(((T⊗U)⊗V)⊗W)
↓α_{U,V,W}⊗1_W
((T⊗(U⊗V))⊗W)
↓α_{T⊗U,V,W}
(T⊗((U⊗V)⊗W))
↓1_T⊗α_{U,V,W}
(T⊗(U⊗(V⊗W)))
の合成で得られる写像と
(((T⊗U)⊗V)⊗W)
↓α_{T⊗U,V,W}
((T⊗U)⊗(V⊗W))
↓α_{T,U,V⊗W}
(T⊗(U⊗(V⊗W)))
の合成で得られる写像が一致する。つまり、上の二つの写像の列をくっつけてできる図式が可換。
associa-hedronを書いて、テンソルの付け替えを向き付きで考えてできる可換図式を考えればよい。
関手の言葉でいえば、C×C×C×C->Cなる適当な関手たちを自然変換で移す2通りの方法を考えたとき、
その2つの方法で得られる関手の自然変換が一致する、という主張である。
コヒーレンス条件(2)
任意のU,V∈k-vecに対し、
α_{U,I,V}
(U⊗I)⊗V -> U⊗(I⊗V)
↓λ_U⊗1_V ↓1_U⊗ρ_V
U⊗V == U⊗V
が可換になる。ただし、Iは>>83のIである。
これも関手の言葉でいうと、C×I×C -> Cたちの自然変換についての可換図式である。
0086１３２人目の素数さん
2010/12/28(火) 17:08:10(一般のCでは>>85のk-vecはCと読み替える)
このα,λ,ρが特に恒等写像であれば、Cは強モノイド圏であるという。
このあたりには、例によって微妙な議論がある。
ベクトル空間の圏withテンソル積⊗は、その定義によって
強モノイド圏になったりモノイド圏になったりするのである。
例えば、有限次元ベクトル空間のテンソル積を、
(1)各Vたちの基底B_Vを一つ固定することにし、V⊗Wは基底B_{V⊗W}={v_i⊗w_j|v_i∈B_V,w_j∈B_W}
を台とするベクトル空間と思う。
(2)常に数ベクトル空間としてしまう。つまり、V⊗WとはV,Wによらずk^{dim(V)dim(W)}である。
の2つの方法で定義することを考えると、前者では(v_i⊗w_j)⊗u_kとv_i⊗(w_j⊗u_k)の間に微妙な差異がある
(つまり自然同型で(V⊗W)⊗UとV⊗(U⊗W)を同一視はできるが同一と言ってよいかは微妙である)のに対し、
後者の定義では完全に同じもので、特にHomの対応を考えるとそれも込みで
(V⊗W)⊗UとV⊗(U⊗W)が一致してしまう。つまり、αが恒等写像として与えられる。
(λ,ρについても同様。)
まあしかし、一般にモノイド圏は強モノイド圏と(モノイド)同値らしいので、
そういうことはあまり気にしないことにする。
(テンソル積は普遍写像性質を用いて同型を除いて定義されるのだが、
その「同型を除いて」という部分に微妙なものがある、ということ。
これは>>37とも通じる。)
0087１３２人目の素数さん
2010/12/28(火) 17:37:51○(V⊗W)⊗UとV⊗(W⊗U)
0088１３２人目の素数さん
2010/12/28(火) 18:47:460089１３２人目の素数さん
2010/12/28(火) 21:42:38| ノ＼ ヽ |
/ ●゛ ● | |
| ∪ ( _●_) ミ j
彡､ |∪| | Ｊ>>88
/ ∩ノ ⊃ ヽ
( ＼ ／ ＿ノ | |
.＼ “ ／＿＿| |
＼ ／＿＿＿ ／
0090１３２人目の素数さん
2010/12/30(木) 01:01:070091１３２人目の素数さん
2010/12/30(木) 17:01:210092１３２人目の素数さん
2011/01/20(木) 21:29:02あぶすとらーくとなーんせーんす
あぶすとらーくとなーんせーんす
0093１３２人目の素数さん
2011/02/07(月) 14:03:13呼んだ？
0094１３２人目の素数さん
2011/05/26(木) 10:08:13.100095１３２人目の素数さん
2011/05/26(木) 11:33:18.270096１３２人目の素数さん
2011/05/26(木) 17:23:00.80acyclic modelだと思うが。
0097１３２人目の素数さん
2011/05/26(木) 17:35:51.62...-（・∀・）- ⊂⊃ 幸せだった日々
>┬< ﾜｰｲ
J( 'ｰ`)し ('∀` ) いくら金を積んでも戻らない福島の美しい自然
( )＼('∀`) ）
｜| (_ _)｜|
;;⌒::.;;.⌒⌒/ /|￣￣￣￣￣/ /::. :; ;⌒⌒:.:⌒:;⌒;;⌒
.. ,::.; / /|￣￣￣￣￣/ /.., ,; .: ,,｡,.（◯） ::
: :::., / /|￣￣￣￣￣/ /,,; （◯） ::: ヽ|〃 ;;:
. ,:.; / /|￣￣￣￣￣/ /.., ,; :ヽ|〃 ,,｡, ::;;,
0098あんでぃは賛同 ◆AdkZFxa49I
2011/05/29(日) 00:11:50.680099１３２人目の素数さん
2011/06/02(木) 00:31:47.940100１３２人目の素数さん
2011/06/03(金) 04:07:46.81> 圏論ってもはや論理学だよね
というより言葉、数学を記述する言語だと思う
まあ論理学も同じようなもんだと言えないこともないけど
一見すると圏論って群論とか環論なんかと同じく圏という特定の代数的構造に関する理論のように初心者は勘違いしがちだけど
だから群論とか環論とかを勉強するようなつもりで圏論を勉強すると失望するというか砂を噛むような味気なさを感じるだろうな
0101１３２人目の素数さん
2011/06/03(金) 04:24:03.79特定の圏 ⇔ 群・環とか
みたいな対応で考えられて
特定の圏だけ考えるようにすれば代数学に近くなるんじゃないのか
0102１３２人目の素数さん
2011/06/03(金) 10:55:17.76群や環は何だっていいんだよ、矢印だけに注目しなさいって理論
0103１３２人目の素数さん
2011/06/03(金) 23:22:47.14つ トポス
0105あんでぃ「も」弱者 ◆AdkZFxa49I
2011/06/15(水) 18:46:25.100106１３２人目の素数さん
2011/07/03(日) 10:33:35.09何でもあんでいでおしまいかよ アホ
つまんね
0107１３２人目の素数さん
2011/07/04(月) 00:05:59.59買いそこなった
悲しい
0108１３２人目の素数さん
2011/07/15(金) 17:40:44.210109蛙-かわづ- ◆NxYIfSaetA
2011/07/29(金) 20:48:12.160110１３２人目の素数さん
2011/08/03(水) 09:22:24.150111１３２人目の素数さん
2011/08/03(水) 09:39:15.90圏論の基礎なら、今となりで寝ているよ
0112１３２人目の素数さん
2011/08/03(水) 12:41:58.230113１３２人目の素数さん
2011/08/20(土) 01:13:42.800114１３２人目の素数さん
2011/08/20(土) 02:29:52.450115１３２人目の素数さん
2011/08/21(日) 11:49:56.150116１３２人目の素数さん
2011/08/21(日) 13:19:55.420117１３２人目の素数さん
2011/08/21(日) 13:31:48.870118１３２人目の素数さん
2011/08/21(日) 15:11:23.920119１３２人目の素数さん
2011/08/21(日) 15:21:33.39卒業要件とか業績とかに学会参加が必要
0120１３２人目の素数さん
2011/08/21(日) 15:42:21.03数学やってて空しくならないか？
0121１３２人目の素数さん
2011/08/22(月) 13:05:16.98数学を続けるには卒業と業績が必要
0122１３２人目の素数さん
2011/08/22(月) 17:27:36.030123検便のナウシカ ◆UVkh7uHFoI
2011/09/09(金) 21:43:38.64どうやって考えればいいんだろう？
0124１３２人目の素数さん
2011/09/10(土) 16:06:09.510125１３２人目の素数さん
2011/09/23(金) 11:34:50.91のような例があるようですが，どれもピンときません．
随伴の意味と威力を示す分かりやすい例があれば教えて戴けないでしょうか．
0126１３２人目の素数さん
2011/10/25(火) 04:32:16.080127１３２人目の素数さん
2011/11/04(金) 16:16:28.83でも見つけることができませんでした。ググっても見つけることができませんでした。
どなたか教えていただけないでしょうか。
0128１３２人目の素数さん
2011/11/05(土) 06:17:05.77圏論の言葉だけで集合論を翻訳することができるので、
全数学を記述する言葉としての集合論は圏論で代替できる。
0129127
2011/11/05(土) 23:11:36.72域と余域が一意に定まらないですね。やはり関手圏を厳密に定義するには、
自然変換と、その域、余域になるべき関手を組にして射とみなさないと
いけないようですね。まあ、考えてみれば、集合全体のなす圏を考える
ときもそうでしたね。
0130１３２人目の素数さん
2011/11/19(土) 15:20:54.21エンジニアと参加願います公安はサリンオウム信者の子供を40歳まで社会から隔離している
オウム信者が地方で現在も潜伏している
それは新興宗教を配下としている公安の仕事だ
発案で盗聴器を開発したら霊魂が寄って呼ぶ来た
<電波憑依>
スピリチャル全否定なら江原三輪氏、高橋佳子大川隆法氏は、幻聴で強制入院矛盾する日本宗教と精神科
<コードレス盗聴>
2004既に国民20%被害250〜700台数中国工作員3〜7000万円2005ソウルコピー2010ソウルイン医者アカギ絡む<盗聴証拠>
今年５月に日本の警視庁防課は被害者SDカード15分を保持した有る国民に出せ!!<創価幹部>
キタオカ1962年東北生は二十代で2人の女性をレイプ殺害して入信した創価本尊はこれだけで潰せる<<<韓国工作員鸛<<<創価公明党 <テロ装置>>東芝部品)>>ヤクザ<宗教<同和<<公安<<魂複<<官憲>日本終Googl検索
0131１３２人目の素数さん
2011/11/19(土) 15:21:50.59誰か(アメリカ)気づいた
ソウルコピー機器
無差別で猥褻、日本は危険知ったかブッタの日本人
失敗作
テロ資料を忘れずに
0132１３２人目の素数さん
2011/11/22(火) 03:41:21.51プログラムで型変換のコードを作っていて、圏が便利だったので圏のクラスライブラリーを作っていました
といっても、単純に
public class CCategory<TArrow, TObject>
{
public Func<TArrow, TObject> GetSource;
public Func<TArrow, TObject> GetTarget;
public Func<TObject, TArrow> GetId;
public Func<TArrow, TArrow, TArrow> Composition;
}
これだけのコードな訳ですが、最初は TArrow, TObject のコレクションを準備して
全要素につてい圏の公理を満たしているかチェックするようなコードを作っていました
しかし、無限の TArrow, TObject 要素を持つ圏ライブラリを作りたくなって
利用した TArrow, TObject に付いてだけチェックするようにしました。
そのうちある日ふと思ったのですが、例えば Id射 が、本来あるべき違う要素であっても
射の合成等で、それが対象にならないプログラムであれば、それがId射の条件を満たしていなくても何も問題ないなと
その場合、真のId射は別の Source Target 同一の要素になるように Composition が決まっているに違いないとして
存在するかどうかを無視して、圏を取り扱っていっても矛盾などでないなぁと
続く・・・
0133１３２人目の素数さん
2011/11/22(火) 03:41:52.06f,g はバグ入りですが、実行はしないので問題無しと同じ事です。
bool x1() { return f.Equlas(g); }
bool x2() { return f.Equlas(f); }
int f() { バグ入りコード }
int g() { バグ入りコード }
プログラムでなくても、数学でも同じこと言えますよね、間違った証明が証明文中にあっても
その結果が、その証明で実は使われていなかったら結論には無影響です。
続く・・・
0134１３２人目の素数さん
2011/11/22(火) 03:42:29.62何かするごとに、それが圏の公理を満たしているかどうかをチェックするようにしてみました。
ある TArrow について、GetSource は実行したけれども GetTarget は実行していない
この時、Id射 が機能しているかどうかは Source だけチェックすれば Target 側は本当は嘘を返していても平気です
他にも色々制約がありますが、可能な限り怠慢なチェックをするとすればどういう手順でチェックすればいいのだろう？
と思いました。
続く・・・
0135１３２人目の素数さん
2011/11/22(火) 03:42:52.01怠慢なチェックをする便利な手順は研究されていないのでしょうか？
現在探しています
これを調べていて、ふと思った事は、公理なんか満たしていない対象でも満たしていると仮定して
証明したら正しい結果が出てしまった的な事は沢山ありそうだなぁとか
実際、物理の人が嘘臭いいい加減な証明を合理化したいと思う時に使える便利な魔法の手順なんて物は無いのだろうかとか
そんな研究ってどこかでしていないのかな？
0136１３２人目の素数さん
2011/11/24(木) 13:57:18.00復刊するって訳者の人がTwitterで言っていた
0137１３２人目の素数さん
2011/11/25(金) 18:46:11.70「基礎」という単語にごまかされるな
数学基礎論がチンプンカンプンなように、「圏論の基礎」もチンプンカンプンだ
0138１３２人目の素数さん
2011/12/01(木) 10:36:20.89Awodeyとか，Adamek et alあたりが入門書としては適当か．
0139１３２人目の素数さん
2011/12/02(金) 11:53:31.970140１３２人目の素数さん
2011/12/09(金) 18:43:13.680141１３２人目の素数さん
2011/12/09(金) 21:59:12.25http://www.amazon.co.jp/dp/4785313013
0142１３２人目の素数さん
2011/12/10(土) 02:08:56.350143１３２人目の素数さん
2011/12/10(土) 11:24:15.180144１３２人目の素数さん
2011/12/14(水) 03:42:22.690145１３２人目の素数さん
2012/01/03(火) 03:21:14.84そしてなるべく異なるテーマのそういう本を複数読むのがいい
0146１３２人目の素数さん
2012/01/09(月) 06:39:42.12初心者の私にも、わかりやすくサクッと読めて分かった気分になれたので結構いい本だと思うのですが、ちょこちょこ細かい間違いがある気がします。
できれば正誤表が欲しいのですが、どこかにあるかご存知の方いらっしゃいませんか？？
具体的には、176ページの注意２）の、空間性トポスについての subobject classifier Ω の stalk sp. に入る位相で、
<i,[U]_i> ∈ I^ の近傍が {<i,[U]_i> | i∈V かつ V∈O(I) かつ U∈V } ( O(I) は I の開集合族)
と書かれているのですが、
{<i,[U]_i> | i∈V かつ V∈O(I) かつ U∈V } の i と U のどちらがその前に出てきた <i,[U]_i> ∈ I^ によって fix されているのか区別がつきません。
※まさか i も U もということはないと思います。
（多分、ミスだと思います。ってかそもそも、空間性トポスの説明のあたりで、位相空間に関する説明があやしいです。）
だれかご存知の方がいたらお願いします。
0147１３２人目の素数さん
2012/01/10(火) 20:48:53.770148１３２人目の素数さん
2012/01/11(水) 11:07:19.47>まずは線型代数
そうかなあ？かなり疑問。
0149１３２人目の素数さん
2012/01/11(水) 14:42:24.78> >まずは線型代数
> そうかなあ？かなり疑問。
同感。
ことに質問者の>>140はプログラミングやってて圏論に興味もったって（Haskellのモナドあたりかな？）動機なんだから
線型代数→加群→ホモロジー代数→圏論って河内とか岩崎とかの教科書にあるストーリーとは全然別方向だと思う。
圏論の教科書って、書き手の専門によって割と明確に２種類に分かれるんだよね。
それで、百科事典的なのは別にすると、内容的にその双方をカバーしているのはほぼ皆無。
書き手の専門の違いによる２種類ってのは、
（１）代数屋や幾何屋が書いた圏論の本。
これは上のストーリーの延長というか普通のオーソドックスな数学分野向けの教科書。
古い本だとMitchellとかPareigisとか。最近だとLurieの高階トポスのもこちらに属する。
（２）ロジシャン（計算機科学屋）が書いた圏論の本。
これはロジックを圏論的に捉えようってストーリーだから線型代数なんて無関係。
Goldbrattのトポスの入門書はこちら。Asperti&LongoやPierceの本は当然こちら。
清水の本（俺の印象では第１章以外はGoldbrattのレジュメみたいな代物だと思う）もこちら。
ある圏論の教科書が上の２つのカテゴリーのどちらに属するかは簡単に判別がつく。
（２）に属する教科書なら必ず Catesian Closed Categories についての記述が（ほとんどの場合、かなり早い段階で）十分に与えられている。
何故なら、Cartesian-closednessは（色んな見方があるけれど、その一つとして）Herbrandの演繹定理（GentzenのNK/NJでのimplication-introductioｎ規則）を
満たす（あるいは大雑把にはメタ言語での「ならば」と対象言語での「ならば」が対応する）構造の圏論的な特徴づけだからだ。
だけど代数や幾何ではそんな構造はほとんど意味がないから、Cartesian closed categoriesなんて扱わないか触れても極くわずか。
（続く）
0150１３２人目の素数さん
2012/01/11(水) 14:44:57.050151１３２人目の素数さん
2012/01/11(水) 14:58:41.10>>140の質問はプログラミングと関連して圏論を勉強したいってのだから（１）のストーリーで勉強するのは無駄。
（少なくとも非常に遠回りだし、プログラミングとの関連が全く見えて来ない勉強を長々と続けねばならないので精神的に非常にくたびれる）
だから（２）に属する教科書を使って勉強するべきって事になるんだけど、問題は（２）の教科書でも圏論に関するある定義を説明する際の
具体例なんかは普通の数学（ロジックやプログラミングでなく）にある例を持ち出してるケースが少なくないんだよね。
だって、仮にも圏論を深く勉強しようって人間のほとんどは学部レベルの数学科の教育を受けてるのがほとんど、
つまり圏論の教科書は、読者に対して学部数学を勉強済みでそこの知識はあるって大前提で書かれているから。
ところが最近の関数プログラミングでHaskellとかがモナドとか圏論の用語をキャッチフレーズに使い出したものだから、
>>140（想像するにバリバリのプログラマーさんかな？）みたいに数学科の教育を受けていないけれど圏論を勉強したいって人が
少なからず出てきてる。
結論から言うと、数学専攻でないプログラマー向けの圏論の良い入門教科書ってのはない。日本語はおろか英語でもね。
>>140さんに言っておくと、Haskell使ってプログラム書くだけならば圏論なんて勉強しなくても自在に使える。
だから圏論の勉強しなくてもプログラミングには差し支えないし、勉強したからと言ってプログラミングが上達するのでもない。
という事を承知の上で、「それでも圏論を勉強したいんです」というのならば、
次の続きを読んで下さい。
0152１３２人目の素数さん
2012/01/11(水) 15:01:25.970153１３２人目の素数さん
2012/01/11(水) 15:26:29.89>>140さんのような数学が専攻でないプログラマー屋さんが「それでも圏論を勉強したい」というのならば、まず意識改革が必要だと思います。
どういう事かと言うと、『圏論は（数学的な構造を記述するための）言葉に過ぎない』と予め割り切った意識を持たねばならない。
同じくプログラミングの世界で多少は利用されつつある記号論理が単なる言葉（記述手段）であるようにね。
言い換えると、圏論やそこで登場する様々な概念（定義）そのものに対して具体的なイメージを期待しても無駄という事。
つまり、圏論は言葉だから使い方を知らねばならない。使い方を知るには具体例（語学の勉強ならば文例ですね）を色々と知っておかねばならない。
そうすると、まず圏が登場した切っ掛けは、数学的構造とそれを保存する写像としての準同型の概念それぞれを抽象化して、
対象(object)と射(morphism)となったのだから、圏論の利用での最も基本的なのは数学的構造とその間の準同型という事になる。
そこで、数学的構造の典型は代数構造ですから、それに関するう分かりやすい入門書で代数構造と準同型の実例を学ぶという事になります。
例えば、朝倉書店から出てる志賀浩二さんの『線形代数30講』や『群論への30講』は肩が凝らずに読みやすい。
それだけではくたびれるので、計算機科学の理論で圏がどう使われるかも勉強しよう。
日本語の本では、横内さんの『プログラム意味論』（共立出版）がある。
ずっと品切れだったのが、最近、復刊されるそうなので、既に復刊されているかもうすぐ復刊される。
これを読むと計算機向けの圏論の勉強（それだけならば第４章を読めば良い）だけでなく、Haskellを支えている意味論も勉強できる。
もちろん、清水さんの２章以降も良い。圏論やトポスに関しては分量的にも内容的にも横内さんのより遥かに豊富。
ここまで勉強すると圏論に関する本格的教科書であるMac Laneの『圏論の基礎』を何とか読めるようになると思う。
モナドに関しては、日本語の本ではそのMac Laneの翻訳本しかないだろう。（あったらごめんね）
英語で良ければ計算機屋向けにはAsperti & Longoのテキスト（絶版ですが著者がファイルを公開している）がある。但し、ミスプリントは一杯ある。
おしまい
0154１３２人目の素数さん
2012/01/11(水) 15:33:51.11数学の知識ほぼいらないし。
0155１３２人目の素数さん
2012/01/11(水) 15:35:58.710156１３２人目の素数さん
2012/01/11(水) 15:36:35.43そもそも『意味論』とは何か？ そこあたりが明確になるといいと思う。
0157１３２人目の素数さん
2012/01/11(水) 15:46:55.03151> 結論から言うと、数学専攻でないプログラマー向けの圏論の良い入門教科書ってのはない。日本語はおろか英語でもね。
失礼。英語ではBenjamin Pierceの"Basic Category Theory for Computer Scientists" (MIT Press)がありますが、これは余りにも簡単すぎて
これだけを読んだのでは圏論について殆ど何も分からない。但し、圏の基本概念に対するプログラムでの具体例を知るには良い本です。
それから、Pierceさんの英文はとても読みやすい。下手な日本語の本よりずっと読みやすいので、よほど英語が苦手・嫌いでなければ読む価値は大いにあり。
今でも出版されてると思うが、仮に既に絶版になっていても一時期はとても良く売れた本だから古本で容易に入手できるだろう。
それと、以下は補足だが、ある構造を圏論的に捉える際に、色んなレベルで圏と看做せるという事に注意しておく必要がある。
例えば、計算機科学でも言語理論で登場するモノイドを圏論的に捉える事を考えよう。
全てのモノイド（群でも良い）の集まり（本当はsmallとか条件が付くが今の説明の本筋でないので省く）全体は一つの圏を成し、
その圏の対象は個々のモノイドで射はモノイドの構造を保つ準同型写像である。
ところが、任意にモノイドを一つ与えると、そのモノイドに対応する圏を考える事ができる。
この圏の対象は１つで、元のモノイドの要素それぞれが圏の射それぞれに対応する。
つまり、モノイドを圏論的に捉えると言っても、全てのモノイド全体の集まりで一つの圏として捉えるのと、個々のモノイドを一つの圏として捉える
全く別レベルの捉え方があるのに注意する必要がある。
では幸運を。
0158１３２人目の素数さん
2012/01/11(水) 15:50:52.54べんじゃみんは意図的にdisっていたんじゃないんだｗ
0159１３２人目の素数さん
2012/01/11(水) 15:52:54.83Asperti & Longo本のタイトルは"Category Theory for Working Computer Scientists" (MIT Press)だ。
既に絶版だが、少なくとも以前は著者自身がPDFの形でファイルを配布してたので電子的には読めると思う。
それと横内さんの本で領域理論（スコット理論）に基づく関数型言語の意味論が展開されているが
モナドを用いた意味論は横内さんの本の範囲外。それについてはAsperti & Longoを読めば良い。
こんどこそ終わり（のつもり）
0160１３２人目の素数さん
2012/01/11(水) 15:54:40.99> >>157
> べんじゃみんは意図的にdisっていたんじゃないんだｗ
ベンジャミンさんをdisったりしませんよ。彼の本はあまりに当たり前というか空気同然の存在になってたんで忘れていただけ。
0161１３２人目の素数さん
2012/01/11(水) 16:12:32.03プログラミングでもかなり理論的なことに興味があるのなら
線型代数を知っておくのは非常に重要。
プログラミング言語の理論的分析によく使われる線型論理は
線型代数の「線型性」がモデルになっていると言えるんで。
0162１３２人目の素数さん
2012/01/11(水) 16:26:10.54> 最終的に、線型代数の勉強を勧めているのかよく分からんが、
射のアイデアの元となった構造を保存する写像の具体例を知る分野の一つとしてね。別に位相でも何でもいいんだが。
数学専攻以外の人間が読みやすくて入手も容易な教科書は何かって考えると、志賀さんの30講あたりになるだろう、
あのシリーズの中で準同型が出て来そうなのは群と線型代数（ベクトル空間）ぐらいかってだけで、それ以上の深い理由はない。
0163１３２人目の素数さん
2012/01/11(水) 18:15:34.45おおー！レクチャーありがとう。
>数学専攻でないプログラマー向けの圏論の良い入門教科書>ってのはない。
あなたが書いてくれんか。
>こんどこそ終わり（のつもり）
そんなこと言わずもっとここにいて語ってくれ。
0164１３２人目の素数さん
2012/01/11(水) 18:43:24.50モナドは槇書店の圏論に載ってる。
絶版だが。
0165１３２人目の素数さん
2012/01/11(水) 18:45:26.12たとえプログラマでも。
0166１３２人目の素数さん
2012/01/11(水) 19:03:03.46そういう単純な例でじっくり考えるのも楽しいね。
0167１３２人目の素数さん
2012/01/11(水) 19:05:11.340168１３２人目の素数さん
2012/01/11(水) 19:09:29.830169１３２人目の素数さん
2012/01/11(水) 19:10:40.610170１３２人目の素数さん
2012/01/11(水) 19:17:01.21俺はモチベーションがないんで全部読んでないけど特に難しいとは思わなかった
読むのが面倒というのはある。
0171170
2012/01/11(水) 19:20:29.510172１３２人目の素数さん
2012/01/11(水) 19:20:40.96アーベル圏の本としては全然食い足らんし。
0173170
2012/01/11(水) 19:23:10.84Mac Laneの比じゃない
0174１３２人目の素数さん
2012/01/11(水) 19:25:37.930175170
2012/01/11(水) 19:26:36.570176170
2012/01/11(水) 19:27:22.040177１３２人目の素数さん
2012/01/11(水) 19:45:18.06> >>153
> モナドは槇書店の圏論に載ってる。
> 絶版だが。
ああ大熊さんの本か。すっかり忘れてた。
あれはMac Laneの翻訳が出るまでは日本語による圏論の本では最もオーソドックスな内容だった。
まだ普通に売ってた時代に買ったから持ってるがロクに読んでない。（絶版で欲しがってる人々には悪いが）
大熊さんの読むのとMac Lane読むのとじゃ大して違わないと感じたし。
ともかく初めて圏論を勉強しようと思ってる人は竹内さんの『層・圏・トポス』で圏論を勉強しよう/できるなんて考えないことが大事。
あれは真面目に勉強するための本じゃない。
0178１３２人目の素数さん
2012/01/11(水) 20:02:33.420179１３２人目の素数さん
2012/01/11(水) 20:03:54.890180１３２人目の素数さん
2012/01/11(水) 20:04:49.37竹内の本なんて、ありゃ詐欺だ。
0181１３２人目の素数さん
2012/01/11(水) 20:07:28.85木下さんという人が書いたものの中に以下の記事がある。
「左随伴をもつというのは，そのようなモノイドから環への最低限の拡張が，
たしかに可能である，ということを言っている･･･そのような拡張が同型を除
いて一意であることなどが，左随伴というキーワードから出てくる」
これはなにを言っているのだろうか？モノイドの公理にいくつかの公理を付け
加えたのが環の公理なのだから、｢モノイドから環への最低限の拡張が可能で
ある｣ことは、圏や随伴性を持ち出すまでもなく明らかだと思うのだが。
｢最低限｣という所がポイントなのだろうか？それとも一意性の所？･･･
0182ヘタレプログラマ
2012/01/11(水) 20:16:23.950183あのこうちやんは始皇帝だった
2012/01/11(水) 20:21:11.15クソの役にも立たないコトに、時間を無駄使いすると、ニート・無職に、
なっちゃいますよ！！！！！！！！！！！！！！！！！
0184１３２人目の素数さん
2012/01/11(水) 20:33:47.41公理を加えると、拡張とは方向が逆じゃないか？
0185１３２人目の素数さん
2012/01/11(水) 20:56:51.71モノイド M から環 A の乗法モノイドへの準同型 f：M → A があるとする。
このときモノイド環 Z[M] から A への準同型 g で f の拡張になっているものが一意に存在する。
だから Z[M] は M の拡張である環の中で最小の環と見なされるってことだろ。
これを小難しく言ってるだけだろ。
0186１３２人目の素数さん
2012/01/11(水) 20:58:27.700187１３２人目の素数さん
2012/01/11(水) 21:10:09.400188１３２人目の素数さん
2012/01/11(水) 21:11:04.41とりあえずありがと。
熟読してみるよ。
0189１３２人目の素数さん
2012/01/11(水) 22:48:48.82> 木下さんという人が書いたものの中に以下の記事がある。
産総研の木下佳樹さんか。
その記述の意味についての解説は185にあるので、その点についてはそちらに任せるとして、
次の部分にある君の錯覚についてコメントしておく。
> これはなにを言っているのだろうか？モノイドの公理にいくつかの公理を付け
> 加えたのが環の公理なのだから、｢モノイドから環への最低限の拡張が可能で
> ある｣ことは、圏や随伴性を持ち出すまでもなく明らかだと思うのだが。
いや、公理を追加する向きへの拡張の存在、ましてその一意性は自明じゃない。
自明なのは構造を忘れる向きだ。
例えばある集合R上に環の構造があれば、その乗法については忘れて
Rを加法群と看做せるのは明らかだろ。
つまり任意の環Rに対して単純にその乗法を忘れて加法群と看做すという対応については
一意的なのが存在する。この構造を忘れるという対応付けが（この場合は環の圏から加法群の圏への）忘却関手だ。
だが逆に加法群の構造が入った集合Gがある時、
Gの上に何らかの２項演算を定義し乗法の公理や加法に対する分配則を
満たすようにしてGに環の構造を持たせる事は自明じゃない。
0190１３２人目の素数さん
2012/01/12(木) 01:04:27.80関数型言語とモナドの関係はいいとして、
論理型の言語もモナドと関係あるのかな？
0191１３２人目の素数さん
2012/01/12(木) 01:58:00.87線型論理とプログラミング言語の関係について解説希望
0192１３２人目の素数さん
2012/01/12(木) 06:11:18.67左随伴は逆射とは限らないのだから、群Gに環の構造を入れるとは限らないだろ。
0193１３２人目の素数さん
2012/01/12(木) 10:01:25.91>>185がまだよくわからず具体例で考えていた所なのだが･･･。
俺の間違いは、｢拡張｣が、｢既定の構造の上に｣拡張するということを失念して
いた点にあったようだ。
それならたしかに、忘却の方はもちろん自明だが、追加する方は自明でない。
追加が可能であることも、さらには一意であることも、ふつうのやりかたで
それを見通すことは簡単じゃないな。（いまそれを具体例でやってみているのだが:-)
0194Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/01/12(木) 10:16:18.93Z を有理整数環とする。
M をモノイドとする。
M で生成される Z 上の自由加群を Z[M] とする。
Z[M] の２元 x, y の乗法 xy を M の乗法を線型に拡張することにより定義する。
即ち、x = Σa_ix_i と y = Σb_iy_i を Z[M] の元としたとき
xy = Σa_ib_jx_iy_j と定義する。
このとき Z[M] は環となる。
これを M の Z 上のモノイド環と呼ぶ。
モノイド M から環 A の乗法モノイドへの準同型 f：M → A があるとする。
このときモノイド環 Z[M] から A への準同型 g で f の拡張になっているものが一意に存在する。
これは g(Σa_ix_i) = Σa_if(x_i) と定義すればよい。
これを圏論の言葉で翻訳すると次のようになる。
Rng を環の圏とする。
Rng における射としては単位元を単位元に移すものとする。
Mon をモノイドの圏とする。
A ∈ Rng のとき A を乗法モノイドとみたものを U(A) と書く。
M ∈ Mon
A ∈ Rng
のとき上記から全単射 ψ：Hom(Z[M], A) → Hom(M, U(A)) が存在する。
ψ は M と A に関して自然である。
よって、M に Z[M] を対応させる関手は U の左随伴関手である。
0195１３２人目の素数さん
2012/01/12(木) 15:14:48.86>>140です。サーセン。haskellを最近かじりはじめたばっかです。
関数型はおろか普通のプログラミングさえまともにできない初心者です。
なんとなく知識人ぶりたくてhaskellさらには圏論を勉強したいなあと思い、質問しました。
死んできます。
0196１３２人目の素数さん
2012/01/12(木) 16:52:30.51最適化動作としてあるCPUにおける投機実行みたいなもの？
0197１３２人目の素数さん
2012/01/12(木) 18:56:35.810198１３２人目の素数さん
2012/01/12(木) 19:23:39.120199１３２人目の素数さん
2012/01/12(木) 20:02:01.19だいぶ前に時限が来てる気もするんだが。
0200１３２人目の素数さん
2012/01/12(木) 20:10:07.31新しい演算がGで閉じてないときに、矛盾無く閉じるようにできるかは
それだけでは不確定だ、とでも言うべきだろうね。
0201１３２人目の素数さん
2012/01/12(木) 20:13:47.94環も準同型も単位的なら、その圏はRngよりはRingと書くほうが「らしい」と思うが
0202１３２人目の素数さん
2012/01/12(木) 21:02:22.03線型論理は推論規則のお遊びで、プログラムにはほとんど無用というのが
俺の評価だが、どう？解説は聞いてみたいが。
>>196
というかヌルオブジェクト？
>>199
圏論はいまいち使われなかったって？
0203１３２人目の素数さん
2012/01/12(木) 21:35:55.12プログラミングとはまったく関係ない。
0204１３２人目の素数さん
2012/01/12(木) 21:40:44.49おかげさまで、多項式環を具体例として読むと、なんとか分かったかなと思う。
そして今は｢当たり前だな」という感想。やっぱり分かっていないのかな？
> Z[M] から A への準同型 g で f の拡張になっているものが一意に存在する。
一意性はなぜ言えるのだろうか？
0205１３２人目の素数さん
2012/01/12(木) 21:43:35.34数理論理学がプログラミングと関係がないというのは違うと思うな。
むしろほぼ一体と言ってもよいのでは？
0206１３２人目の素数さん
2012/01/12(木) 21:48:45.72圏論以前に数学の知識が不足しているな。
線形代数、群、環、体、位相空間論のイロハを仕入れなさい。
圏は一時置いといて。
0207１３２人目の素数さん
2012/01/12(木) 21:52:01.10それはどういう意味？
0208１３２人目の素数さん
2012/01/12(木) 21:57:19.64たしかにそうかもしれんが、そうもいかんのだ。
0209１３２人目の素数さん
2012/01/12(木) 22:01:17.77ベンジャミン本の中にceiling functionの例があるが、それがどうした、
という感じしかしないのだ。
0210１３２人目の素数さん
2012/01/12(木) 22:04:14.17『意味論』という言葉の意味がわかりにくいという意味。
ひとことに『意味論』といってもいろんな意味があるから。
0211１３２人目の素数さん
2012/01/12(木) 22:08:47.12俺もそういうの好きだが、それだとありがたみや有効性が分かりにくいんじゃ
ない？シリトリ圏なんてのもあったが。
0212１３２人目の素数さん
2012/01/12(木) 22:11:42.75いろんな意味があることは受容する派？それとも？
0213１３２人目の素数さん
2012/01/12(木) 22:55:53.11ほぼ自明じゃん
強いて言えば、>>194 のクマーの説明で標準入射 M->Z[M] を「とばして」いるのを補うだけ
0214１３２人目の素数さん
2012/01/12(木) 22:56:15.09そのあたりを明解にしてくれるとありがたいと思うわけなんだよ。
0215１３２人目の素数さん
2012/01/12(木) 23:02:19.52そう思えない人は、もっと易しい本を読むこと。
0216１３２人目の素数さん
2012/01/12(木) 23:25:10.11> ところで、HASKELLでいうところのMAYBEモナドというのは、
> 最適化動作としてあるCPUにおける投機実行みたいなもの？
Haskellに関する具体的な質問はプログラム板にHaskellのスレがあるから
そっちで質問した方が望む答えが得られやすいと思う。
（別にスレチだとか出て行けって言ってるんじゃない。
単に適切な答えが得られる可能性はあっちの方が高いってだけ）
関数型プログラミング言語Haskell Part17
http://toro.2ch.net/test/read.cgi/tech/1325510368/
0217１３２人目の素数さん
2012/01/12(木) 23:30:13.170218１３２人目の素数さん
2012/01/12(木) 23:50:16.66そうだね。そのうちそちらの方で質問してみるよ。
関数型言語といっても、つきつめて考えれば命令型に
還元できるんじゃないかと思うし、モナドの合成は
関数や射の合成みたいなものかなーと想像したよ。
0219１３２人目の素数さん
2012/01/13(金) 04:45:59.03>関数型言語といっても、つきつめて考えれば命令型に
どうつきつめるのか知らんが、関数型言語自身は、そう還元できないし、
したくないと思っているよね。だからこそモナドなんてのを持ち出すの
じゃないの？
0220１３２人目の素数さん
2012/01/13(金) 05:02:36.89随伴なんてそんなもんだ、それがどうしたと思うのはごくごく正常
0221Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/01/13(金) 05:49:29.89右随伴関手は極限（limit）を保存するという定理（およびその双対定理）は覚えておくと
役に立つことがある
0222１３２人目の素数さん
2012/01/13(金) 07:29:33.080223Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/01/13(金) 08:36:17.02特殊随伴関手定理
0224１３２人目の素数さん
2012/01/13(金) 09:20:25.99そう言ってくれるとちょっと楽になるが、マックレーンのスローガンの
気持ちがまったく分からんので、まだまだかなあ
0225１３２人目の素数さん
2012/01/13(金) 09:23:19.45モデル論的のほうだよね？
0226１３２人目の素数さん
2012/01/13(金) 09:27:59.950227１３２人目の素数さん
2012/01/13(金) 10:16:46.19少なくとも、CPUの動作レベルまで下がってくれば、という意味で。
0228１３２人目の素数さん
2012/01/13(金) 13:54:40.640229Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/01/13(金) 14:09:29.91圏論では最重要概念の一つ
0230１３２人目の素数さん
2012/01/13(金) 14:29:19.870231１３２人目の素数さん
2012/01/13(金) 14:30:31.00違う。ただのルンペンだよ。
0232Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/01/13(金) 14:34:47.79大熊正って今ぐぐって知った
0233Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/01/13(金) 14:40:01.20あんた５０代以上だろｗ
0234１３２人目の素数さん
2012/01/13(金) 15:07:57.270235Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/01/13(金) 15:30:59.880236１３２人目の素数さん
2012/01/13(金) 18:30:32.28リターンとかビンドとかいう言葉を使うからわけわからんかった。
0237１３２人目の素数さん
2012/01/13(金) 18:57:51.79論理学の観点から言ってる？それとも計算機科学の観点？
計算機科学で操作的意味論なんて呼ばれているものは
論理学の観点からすれば証明論でしかない。
0238１３２人目の素数さん
2012/01/13(金) 19:07:26.390239スレタイ446
2012/01/13(金) 19:48:19.90日本語の資料では>>153にある横内さんの『プログラム意味論』に
操作的意味論と表示的意味論の両方からの
（λ計算への）アプローチの違いが載ってる。
0240１３２人目の素数さん
2012/01/13(金) 21:06:44.03これって225へのレスじゃないよね？
それから、ここの｢操作的意味論｣は｢公理的意味論｣の間違い？
それから、操作的意味論を意味論などと呼ぶから話がおかしくなるのでは？
0241１３２人目の素数さん
2012/01/13(金) 22:41:31.880242１３２人目の素数さん
2012/01/14(土) 03:00:02.38> >>237
> これって225へのレスじゃないよね？
237とは別人だが横レスすると、操作的意味論も数理論理学的には証明論という事になる。
λ計算でのreduction theoryだから構文的対象とその関係に対する推論規則の体系だからね。
無論、手続き的プログラミング言語に対する公理的意味論も数理論理学的には証明論的な体系の一つ。
> それから、ここの｢操作的意味論｣は｢公理的意味論｣の間違い？
> それから、操作的意味論を意味論などと呼ぶから話がおかしくなるのでは？
君の上の主張は歴史を無視した非常に視野の狭い主張。
「意味論(semantics)」という概念は数理論理学の成立以前から
言語学や個々の語学（英語学やフランス語学など個々の自然言語に対するもの）の中で確立されていた概念。
自然言語の意味論にも様々なアプローチがあって、数理論理学的に見てモデル論的でない意味論は山ほどある。
そしてプログラミング言語の意味論は自然言語の意味論と同じ意味での「意味論」。
だから、操作的意味論も公理的意味論も、表示的意味論と同じく、プログラミング言語に対する意味論として有意。
例えば、「プログラミング言語のモデル論」と呼ぶのならば、表示的意味論以外のアプローチはおかしいと主張しても正当だが。
何故ならば、「モデル論」という言葉や概念は数理論理学によって確立されたものだから、数理論理学的な意味でのモデル論以外はNGだと
主張するのは妥当だが、「意味論」は言語学で既に成立していた言葉を、数理論理学の中では勝手に非常に狭い意味に限定して使うように
しただけ。
従って、数理論理学に属さない分野で「意味論」という言葉を数理論理学の用法から外れた使い方をしてもNGとは言えない。
そしてプログラミング言語は少なくとも当初は数理論理学には属さずに発展してきた。
1960年代のプログラミング言語は数理論理学には縛られずに発展して来た。
そしてプログラミング言語の意味を形式的に捉える最初のアプローチである操作的意味論（PlotkinのSOSとは随分と違うアプローチだが）は
その1960年代前半に考え出された。
プログラミング言語が数理論理学を強く意識し、数理論理学屋がプログラミング言語の理論に大量に入り込むようになったのは型理論ブームからだよ。
0243１３２人目の素数さん
2012/01/14(土) 03:15:34.76> そしてプログラミング言語は少なくとも当初は数理論理学には属さずに発展してきた。
> 1960年代のプログラミング言語は数理論理学には縛られずに発展して来た。
こう書くと、「いや、Turing machineがあるんだから最初から数理論理学に属していたじゃないか」と反論したくなるだろうが、
そもそもTuring machineのようにテープをどうするなんて形でプログラムを記述する実用プログラミング言語など存在しない。
非常に初期のを除く実用計算機ハードウェアも手続き的プログラミング言語も、すべて素朴な（インフォーマルで直感的に捉えられただけの）
Random access machineを計算モデルとして採用していてTuring machine由来ではない。
むろん、その当時も極めて少数は存在した計算の理論屋はTuring machineで考えていたのは確かだろうが
現実のプログラミング言語やハードウェアを開発していた人々はTuring machineなんて非実用的な計算モデルをベースにして考えたりしていなかったのは
彼らが生み出した言語やハードを見れば一目瞭然。
従って、当時のプログラミング言語やハードは数理論理学とは無縁に作られたし、それに対する操作的意味論も数理論理学をあまり意識せずに
考え出されたんだよ。
例えば現代的な公理的意味論の基本を60年代末に作ったHoareは数理論理学者じゃない（そういう専門教育も受けていない）。
操作的意味論だって同様だろう。
表示的意味論にしても、そういうスタイルの意味論を作ろうとしたStracheyは数理論理学とは無縁の人。
ただ、彼がλ計算を使ってそれをやろうとしていた時に、λ計算での自己適用に対するモデルの存在が不明でStracheyが挫折しかけていたのを
数理論理学屋のDana Scottが連続束によるモデルを作りだして救ったのだ。
プログラミング言語の意味論が次々に考案された初期の時代では、数理論理学屋による重要な貢献はこのScottの仕事ぐらいしかない。
数理論理学の応用分野としてプログラミング言語の基礎付けが意識され、両者の関係が密接になるのは80年代半ば以降の型理論の流行った時代から。
0244１３２人目の素数さん
2012/01/14(土) 04:00:31.66プログラミング言語として関数型言語だけを念頭においた書き方のようだが、
論理型言語を忘れていないか？
0245１３２人目の素数さん
2012/01/14(土) 08:12:06.62いま現在はやっているとは言いがたいとは思うが、昔は一大潮流だったろ
0246１３２人目の素数さん
2012/01/14(土) 08:50:15.07作ると日本のジジイ共が広げた大風呂敷。
出来たのは出来の悪いOSとオモチャのようなソフトウエア・ツールズ。
虻蜂取らずで世界の笑もの。
0247１３２人目の素数さん
2012/01/14(土) 10:46:14.96改めて整理してくれておもしろかった。
しかしあなたが言っているのは｢であった｣論。俺が言っているのは｢すべき｣論。
歴史的には（あるいはナイーブには）言語の意味論にはいろいろな形態のもの
があった（あってよい）のはそりゃその通り。一般人は、意味論と言えば、
机の上のあの辞書をまず思い浮かべるくらいだ。
だが今の俺たちは、syntaxとsemantics、証明論とモデル論を区別するのが
当然の世界にいる。その世界にいる者が、いつまで、表示的、公理的、操作
的をあたかも３種の意味論であるかのように妙な３本立てにしておくのかと
いうことだよ。
この世界では、意味論といえば表示的。公理的はむしろ証明論と訂正したほうが
がよいし、操作的は実行論とでも言えばよいんじゃないかな。
そうすると変な混乱はなくなる。公理的や操作的が不要だと言っているんじゃ
ないよ。
0248１３２人目の素数さん
2012/01/14(土) 10:56:16.85そうかなあ？
今は小物ばかりで、もっと大風呂敷を広げてみろと言いたいんだが。
0249１３２人目の素数さん
2012/01/14(土) 13:48:20.47横内氏『プログラム意味論』は専門的でわかりにくいです。
0250１３２人目の素数さん
2012/01/14(土) 17:05:45.62http://www.amazon.co.jp/dp/4880591750
0251１３２人目の素数さん
2012/01/14(土) 17:09:52.420252１３２人目の素数さん
2012/01/14(土) 21:49:29.150253１３２人目の素数さん
2012/01/14(土) 23:02:30.60>何故ならば、「モデル論」という言葉や概念は数理論理学によって確立されたものだから、数理論理学的な意味でのモデル論以外はNGだと
>主張するのは妥当だが、「意味論」は言語学で既に成立していた言葉を、数理論理学の中では勝手に非常に狭い意味に限定して使うように
>しただけ。
これも「歴史を無視した非常に視野の狭い主張」だね、
最後に「論」を付ける派生前の「モデル」って言葉は
数理論理学以前から普通に使われてる。数理モデルとか。
ま、論理型を知らないでプログラミング言語を語ってる奴に
視野が狭いだのいう資格はないがねｗ
0254１３２人目の素数さん
2012/01/14(土) 23:15:56.650255１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 00:19:22.060256１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 03:51:25.52> 例えば、「プログラミング言語のモデル論」と呼ぶのならば、表示的意味論以外のアプローチはおかしいと主張しても正当だが。
> >何故ならば、「モデル論」という言葉や概念は数理論理学によって確立されたものだから、数理論理学的な意味でのモデル論以外はNGだと
> >主張するのは妥当だが、「意味論」は言語学で既に成立していた言葉を、数理論理学の中では勝手に非常に狭い意味に限定して使うように
> >しただけ。
> これも「歴史を無視した非常に視野の狭い主張」だね、
> 最後に「論」を付ける派生前の「モデル」って言葉は
> 数理論理学以前から普通に使われてる。数理モデルとか。
> ま、論理型を知らないでプログラミング言語を語ってる奴に
> 視野が狭いだのいう資格はないがねｗ
Prologについては失念していた。それについては訂正するが、
現実問題として、論理型言語が計算機プログラミングコミュニティでそれなりの影響力を持つのは80年代に入ってから、
つまり日本が第５世代プロジェクトをブチ上げてからだ。
70年代には、論理型言語は計算機科学の非常に狭いコミュニティの中でしか関心を持たれていなかったし
ましてや一般のプログラマにはほとんど知られていないし影響もなかった。
少しは歴史的な状況をちゃんと把握した上で反論したらどうかね？
君の反論は単なる揚げ足取りに過ぎず内容がない。
> 数理論理学以前から普通に使われてる。数理モデルとか。
「プログラミング言語のモデル論」と書いたんだよ。「プログラミング言語のモデル」とは書いていない。
「モデル論」と言っている以上、数理論理学的に規定された「モデル論」を指すのであって
非常に漠然とした意味での「モデル」ではない。
そもそもモデル一般ならば「数理モデル」なんてもの以前に一般用語としてのmodelは大昔からある概念。
明確な専門用語としての意味しかない「モデル論」と一般用語でもある「モデル」とを区別できない粗雑な人間とは
議論にならないね。
0257１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 03:58:00.47> >>242-243
> 改めて整理してくれておもしろかった。
> しかしあなたが言っているのは｢であった｣論。俺が言っているのは｢すべき｣論。
> 歴史的には（あるいはナイーブには）言語の意味論にはいろいろな形態のもの
> があった（あってよい）のはそりゃその通り。一般人は、意味論と言えば、
> 机の上のあの辞書をまず思い浮かべるくらいだ。
> だが今の俺たちは、syntaxとsemantics、証明論とモデル論を区別するのが
> 当然の世界にいる。その世界にいる者が、いつまで、表示的、公理的、操作
> 的をあたかも３種の意味論であるかのように妙な３本立てにしておくのかと
> いうことだよ。
> この世界では、意味論といえば表示的。公理的はむしろ証明論と訂正したほうが
> がよいし、操作的は実行論とでも言えばよいんじゃないかな。
> そうすると変な混乱はなくなる。公理的や操作的が不要だと言っているんじゃ
> ないよ。
プログラミング言語の意味論は別に数理論理学のために存在しているのでも作られたのでもない。
何よりもプログラミング言語はプログラマというソフトウェアを生産する人々にとって実用の道具でもあり、
その意味論はプログラマがプログラミング言語でプログラムを作る際に、その言語の「意味」をより正確に理解し
正しく使えるようにする為でもある。
その実用としてのプログラミング言語の意味論の観点からすれば、表示的意味論など殆ど役に立たない。
（プログラミング言語を用いてプログラムを書くプログラマがスコット理論を理解せねばならない、なんて主張はナンセンス）
実用の観点からすれば、最も役に立つのは操作的意味論。
そしてバグのないプログラムを書く助けとなるのは公理的意味論。
だからプログラマという利用者の観点から見た「意味」の理論は操作的意味論や公理的意味論の方が表示的意味論より優先する。
学問の為の学問なんてのは単なるオナニーに過ぎない。プログラミング言語は数理論理学のために存在してるんじゃないんだから。
0258１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 07:11:57.51＞「モデル論」と言っている以上、数理論理学的に規定された「モデル論」を指すのであって
＞非常に漠然とした意味での「モデル」ではない。
「モデル」とその派生語である「モデル論」は別だという理屈のようだが、
「モデル論」と「モデル論的」は別と言ってるのと何も変わらん。
用語の派生関係をぶった切って自己正当化するような粗雑な人間とは議論にならないね。
0259１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 09:50:35.630260１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 10:09:59.62>圏論でプログラミング仕様を表現できる
そうかな？表現できるってどういう意味でかな？どの範囲が？
0261１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 10:16:59.83俺が言っているのは｢役に立つ｣かどうかではないんだが。
>>256 >258
少し瑣末な議論にみえるのだが。
0262１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 10:24:37.400263１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 10:27:36.43関数型言語でプログラムが書けるって意味だったの？単に。
0264１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 16:12:47.73おおむね適切な指摘だと思う。
裏を返せば、今実用の（命令型の）プログラミング言語は本来の意味の｢言語｣
ではないんだよ。だからその｢意味｣なんてものも本当はないんだよ。
0265１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 16:35:12.05「圏論でプログラミング仕様を表現できる」の意味と意義
・ソフトウェアの論文を書くときに、プログラムを数学的な記号で表現できる
・論文を大量生産できる
・仕様書をそのままプログラムコードに変換できる(という夢を持てる)
・プログラムの仕様のうち圏論で表現できてる部分については、テストコードを自動生成できる
0266１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 18:24:05.63｢プログラムあるいは仕様を数学的な記号で表現できる｣ ってところが
本質的な所のようだが。
どこまでそれができている？Haskellのこと？ググればいいプログラム
例ある？
0267１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 18:32:01.32圏論での仕様の記述は特定のプログラミング言語とは独立している
仕様記述言語論は圏論がかなり幅をきかせてる
「そんな抽象的な議論で現実にプログラミングできるのか？」と突っ込まれたときに「Haskellでやれば」とボケる
0268１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 18:41:22.80数理論理学、基礎論などへの応用も同様
0269１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 19:08:30.33ここがよくわからん。仕様記述が要求していることと圏論が提供できる
ことがマッチしているんかな？言語独立の点だけは双方マッチしている
と思うが、それ以外は、圏論側からの一方的な押し付けで、仕様記述
側の要求はなにもわかっていないということはないかい？副作用は
モナドでくらいじゃ話にならないんだが。
0270１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 19:25:12.28仕様記述の一番の目的は仕様漏れを探すこと
つまり仕様の段階での自動デバッグ
なので原理的にモナド程度の小さい粒度で表現力が束縛されてる方が良い
0271１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 20:05:39.70そのときにも、｢まずモナドありき。なんとかモナドを応用したい。｣
という方向の発想ではないかい？線型論理なんかも同じようだが。
それが仕様記述の要求全体のどの部分をどの程度解決するのかという
見定めはあるんかな？
>>268
圏論そのものの議論がしたいということか？それはスマンな。
ただ、今圏論に対する関心は、むしろその応用の方にあるんじゃ
ないかとも思うんだが。
0272１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 20:18:22.390273１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 20:36:08.72>ただ、今圏論に対する関心は、むしろその応用の方にあるんじゃ
>ないかとも思うんだが。
俺が言ってるのは圏論に対する関心がどこにあるかということじゃなくて
圏論の特定の応用分野について議論したいならそのスレを立てればいいということ
その分野に関心のない者もいるわけだから。
0274１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 20:39:17.09だから圏論はやっても無駄とか無意味といいたいのか？
0275１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 20:52:10.74いや、圏論そのものの議論なんてつまらない。
具体的な事例との絡みがなければ深みのある議論なんて出来ない、
ということが言いたかった。
0276１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 21:00:33.89だれも来ん所で話をしてるっても寂しいもんだで。
0277１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 21:05:02.81圏というのは要するにモノイドの一般化されたもの
これについての理論が圏論
群論とか環論とかとこの点で同じ
それがつまらないかどうかは人による
必ずしも応用と関連付けなければ面白くないというものでもない
0278１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 21:05:34.36それを追い出して過疎スレ化しようってのは賛成しかねる。
0279１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 21:14:15.28過疎だから本題から離れた話をしようというのは筋違い
はっきり言って圏論の計算機科学への応用とか俺は興味ない
0280１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 21:15:45.360281１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 21:18:49.890282１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 21:21:33.16おっしゃることに間違いはないが、
｢面白くないはない｣じゃなくて｢ここが面白いんだ！おまえら！｣という
話を俺は聞きたいんだ。結局そういう話がないんじゃないかと実は
疑っているんだ。矢印は器用に使うが実例はさっぱりという学生も
よく目にするし。
0283１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 21:21:50.930284１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 21:24:52.79お言葉だが、いまそういう本があったら、それは飛ぶように売れるよ。
0285１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 21:27:14.360286１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 21:30:40.16売れる売れないに関係なくその本の題名に圏論の基礎とか書いたら非難されるだろ
0287１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 21:34:30.71えらく固いな。圏論の評判がわるくなるぞ。このスレのタイトルは何だよ。
0288１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 21:39:01.55売れる売れないに関係なくその本の題名に圏論好き集まれとか書いたら非難されるだろ
だから計算機科学がいかに面白かろうとスレ違いだろ
別スレ立てればいいだろ
0289１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 21:44:54.67圏論好きが集まってプログラミングへの応用が話題に出るのはごくごく自然。
圏論好きが集まったら圏論の基礎しか語らないなんて思っているやつがお馬鹿なだけ。
0290１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 21:48:00.66もうこのへんで止めるが、あんたの主張は｢題名と内容を一致させよ｣
ということだと理解していたのだが違うか？288はそれに対する反論には
なっていないと思うが。
興味がなければ、読まなきゃいいと思うし、第一この近辺のあなたの
コメントが一番本題から離れていると思うがな。
0291１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 21:50:29.63圏論の話なら別に圏論の基礎だけじゃなくていいよ
ただし計算機科学の話はスレ違い
圏論が好きだから計算機科学も好きとは限らない
0292１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 21:54:24.01>あんたの主張は｢題名と内容を一致させよ｣
>ということだと理解していたのだが違うか？
俺の言ってるのはスレ違いの議論したいなら別スレ立てろということ
0293１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 21:58:05.82同じことだろ。抽象化は得意じゃなかったのか？
0294１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 22:04:52.75別に違うとは言ってないが、同じと思うなら次のコメントは出て来ないだろ
>288はそれに対する反論には
>なっていないと思うが。
0295１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 22:17:50.18>ただし計算機科学の話はスレ違い
ついに自暴自棄になった？
0296１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 22:22:28.81なんでそう思う？
0297１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 22:40:24.07>興味がなければ、読まなきゃいいと思うし、
だからほとんど読んでないよ
しかし新しいレスが付けば一応確認する。
その度にプログラミング関係だとうんざりする。
0298１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 22:43:07.890299１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 22:44:40.22「計算機科学には興味がないから圏論ではない」
もっと突き詰めると
「俺の興味のないことは圏論ではない」
ということだろ。
こんな奴のいうことに付き合う必要はないと思う。
0300１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 22:47:27.11そなことどこに書いてる？
0301１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 22:58:41.73このスレの題名を見て頭を冷やせ
0302１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 23:06:17.23自分で圏論の関連内容は全部把握していると思ってる勘違いクンなんだろ。
0303１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 23:12:23.26圏論の応用がスレチになるという理屈を解説してくれたまえ
0304１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 23:16:11.81しかし、群論スレで量子力学への応用について延々と議論するのはスレ違い
0305１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 23:19:24.19お前は「スレ違い」の決定権を持っているとでも思ってるのか？
0306１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 23:22:00.300307１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 23:22:55.600308１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 23:23:17.40「計算機科学への圏論の応用」と圏論とは違う
むしろ「計算機科学への圏論の応用」は計算機科学に含まれるだろ
0309１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 23:25:15.690310１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 23:26:09.95こんな発散的なところだったら今晩のおかずの選択についてまで関係してくるぞ。
0311１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 23:27:19.94だから今晩のおかずとの関連と同程度に認識できていないってだけだ。
0312１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 23:28:20.64○同程度にしか認識できていない
0313１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 23:30:34.22変なところに迷い込む。
0314１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 23:38:32.49ことの根拠にはならんだろ。自己にとっての自明性を追求して真理に到達したとしても
それは一般的に妄想と言うと思うのだが。
0315１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 23:39:03.61圏論は計算機科学に応用されてるんだから両者に関係あるのは馬鹿でも分かる
同様に群論も量子力学と関係ある
0316１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 23:44:23.96問題はそのこじつけの目的。例えば単に誰かの『僕こんなに圏論わかってるんだよー』
的な話を根拠付けるためだけの理論をクローズアップしても、そんなアホ以下の
立場にいることを明らかにするだけにすぎないじゃん。
0317１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 23:46:05.61確率論は金融工学に応用される
だから確率論と金融工学は関係ある
しかし、確率論のスレで金融工学の話を延々とするのはスレ違い
0318１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 23:52:36.19関係なくても面白く展開できればOKだと思うし。
0319１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 23:56:46.980320１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 23:57:54.64はいはい、一人で騒いでろ
0321１３２人目の素数さん
2012/01/15(日) 23:58:57.050322１３２人目の素数さん
2012/01/16(月) 00:06:43.91だから圏論スレが応用中心の話題になるのは健全なことだと思う
0323１３２人目の素数さん
2012/01/16(月) 00:07:35.960324１３２人目の素数さん
2012/01/16(月) 00:09:31.990325１３２人目の素数さん
2012/01/16(月) 00:09:40.93>圏論って、数学の中でも特殊で、応用から離れた「純粋圏論」は大して中身がない。
中身がないってどういう意味？
0326１３２人目の素数さん
2012/01/16(月) 00:15:50.95中身がないというのが大定理がないという意味なら違うだろ
アーベル圏の埋め込み定理は圏論で最初に得られた大定理だろう
0327１３２人目の素数さん
2012/01/16(月) 00:18:39.380328１３２人目の素数さん
2012/01/16(月) 00:22:05.23米田は証明がトリビアルという意味で大定理ではない
重要な定理だが
0329１３２人目の素数さん
2012/01/16(月) 00:29:04.47中身がないのだったら、その応用分野の所で話せばいいということになるし、
話すとしても中身がないけどいいんだ、ということになるぜ。
0330１３２人目の素数さん
2012/01/16(月) 00:29:24.300331１３２人目の素数さん
2012/01/16(月) 00:32:58.010332１３２人目の素数さん
2012/01/16(月) 00:41:20.24言葉遊びなら Mac Lane の本なんて簡単なはずだが
なんで難しいというやつが多いのかね
0333１３２人目の素数さん
2012/01/16(月) 00:46:59.31数学労働者用圏論のこと？
0334１３２人目の素数さん
2012/01/16(月) 00:48:01.49勿論そう
0335１３２人目の素数さん
2012/01/16(月) 00:55:25.19簡単とまでは言わないが、例が難しいというか幅広いからね
言葉遊びに徹するなら、確かに易しい部類
0336１３２人目の素数さん
2012/01/16(月) 01:04:42.40例が難しいって例えばどれ？
0337１３２人目の素数さん
2012/01/16(月) 01:23:24.45抽象的だからいろいろな分野に応用出来る
それに数学は本来抽象的なもの
自然数だって抽象的なもの
それを具体的と思うのは慣れているから
圏論も慣れれば具体的に思えてくる
0338１３２人目の素数さん
2012/01/16(月) 01:38:43.32圏論の一つの定理を証明しておけば数学のいろいろな分野で同じように
行われていたかもしれない多数の証明が不要になる。
もう一つの圏論の利点はその双対性
圏論の１個の定理を証明すればその双対定理の証明は不要である。
一石二鳥
0339１３２人目の素数さん
2012/01/16(月) 01:40:24.54> ＞「プログラミング言語のモデル論」と書いたんだよ。「プログラミング言語のモデル」とは書いていない。
> ＞「モデル論」と言っている以上、数理論理学的に規定された「モデル論」を指すのであって
> ＞非常に漠然とした意味での「モデル」ではない。
> 「モデル」とその派生語である「モデル論」は別だという理屈のようだが、
> 「モデル論」と「モデル論的」は別と言ってるのと何も変わらん。
> 用語の派生関係をぶった切って自己正当化するような粗雑な人間とは議論にならないね。
「モデル論」の原語は"model theory"で「モデル論的」は"model theoretical"は"model theory"という専門用語の名詞句から派生した形容句で
同一の学問領域で一貫して名詞句とその性質を保有する事を表現する形容句として関連付けられてのみ使用されている。
ところが「モデル」の原語は"model"で完全な一般用語として大昔から使用されており、"model theory"と常に関連して使わている訳ではない。
「モデル」と「モデル論」との違いと、「モデル論」と「モデル論的」の違いとが同じ程度の違いだと主張するお前は議論に何としても勝ちたいが為に
単なる屁理屈の反論をして恥の上塗りをしているだけ。
256の俺の投稿では>>253のお前を「粗雑」と批判したが、>>258の反論を見ると、お前は粗雑ですらなくて詭弁屋か単なる無知蒙昧かのいずれかだな。
0340１３２人目の素数さん
2012/01/16(月) 01:45:14.040341１３２人目の素数さん
2012/01/16(月) 02:15:22.56具体的なもの（例えば四角い布切れとか食べ物のパイ）と関連付けないと理解しにくいのと似ている。
むしろ抽象的なほうが余計な情報が入らなくて理解しやすいのに。
0342１３２人目の素数さん
2012/01/16(月) 08:37:29.97あんた学生さんだと思うが、もっといろんな人と付き合った方がいいぞ。
とは言っても、ここにはあんたと俺も含めて５人くらいしかいないんだが。
0343１３２人目の素数さん
2012/01/16(月) 09:05:44.41そんな耳タコのような講釈はいいから、もっとオリジナルなコメント
キボン
0344１３２人目の素数さん
2012/01/16(月) 09:21:14.51悔し紛れに見当違いのことを言うなよ
0345１３２人目の素数さん
2012/01/16(月) 09:24:53.45俺が耳たこの講釈してるのは、圏論が言葉遊びだとか中身がないという耳タコの文句を
つけているやつがいるからだよ
0346１３２人目の素数さん
2012/01/16(月) 09:57:30.99｢言葉遊び｣ってのは俺にとっては新鮮だった。
言葉遊びと抽象化の違いは？なんてことも考えたよ。
0347１３２人目の素数さん
2012/01/16(月) 10:27:40.07逆だと思う
なんでこの定義になるのかわからない、というのは、もっと抽象的な立場からすると自然な定義であることが多い。
圏論の教科書はもっと抽象的に書かれるべき
0348１３２人目の素数さん
2012/01/16(月) 10:53:38.89>なんでこの定義になるのかわからない、というのは、もっと抽象的な立場からすると自然な定義であることが多い。
よい例があればぜひ教えて
0349１３２人目の素数さん
2012/01/16(月) 11:04:29.17言葉遊びというのは中身がないということを意味してるだろ
0350１３２人目の素数さん
2012/01/16(月) 11:06:29.56ドキュン学生に圏論
0351１３２人目の素数さん
2012/01/16(月) 11:12:40.53群も置換群を抽象化したものだが抽象化のレベルは低い。
それでも分からないという学生は多いが（笑
0352１３２人目の素数さん
2012/01/16(月) 11:18:53.10折角の｢言葉遊び｣って言葉をそんな貧相で否定的な意味だけに解釈するなよ。
もっとそこで圏論的にひねってみろよ。
0353１３２人目の素数さん
2012/01/16(月) 11:20:51.42形式をもてあそぶ
0354１３２人目の素数さん
2012/01/16(月) 11:24:20.95そこの｢もてあそぶ｣をもう少しポジティブな表現にならんか
0355１３２人目の素数さん
2012/01/16(月) 11:29:08.92彼は否定的な意味で使ったわけではなかったらしい。
0356１３２人目の素数さん
2012/01/16(月) 11:54:46.80XXに刃物の間違いか？
0358Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/01/16(月) 14:58:12.37>>338
>もう一つの圏論の利点はその双対性
>圏論の１個の定理を証明すればその双対定理の証明は不要である。
>一石二鳥
しばしばある圏の双対圏は元の圏と非常に異なる。
しかもそれは有用な圏である場合がある。
例えばアーベル群の圏の双対圏はコンパクトアーベル群の圏と圏同値
だからこの場合上記の双対原理は非常に有用である。
0359１３２人目の素数さん
2012/01/16(月) 17:58:07.08>しばしばある圏の双対圏は元の圏と非常に異なる。
これは驚いた。アーベル群のどこにその秘密が？ちょっと勉強してくる。
0360１３２人目の素数さん
2012/01/16(月) 20:14:02.87『意味論』などというから判りにくくなる。単に『領域理論』でいいのでは？
0361１３２人目の素数さん
2012/01/16(月) 20:32:09.79あと、『圏論的意味論』というのは『領域理論』の言い換えですよね？
0362１３２人目の素数さん
2012/01/16(月) 21:21:06.24機能的
0363１３２人目の素数さん
2012/01/16(月) 21:30:40.44ますます分からなくなるような
0364１３２人目の素数さん
2012/01/16(月) 21:43:35.090365１３２人目の素数さん
2012/01/17(火) 09:38:53.77機能的形式主義（functional formalism)の反対の思想は何なの？
特に機能的の方は？ --- この訳は関数的ではないのね？
0366１３２人目の素数さん
2012/01/17(火) 09:53:23.35違う。圏論的意味論は、シンタックスそのままだけど、圏論の言葉にすることによって
セマンティクスを圏論的に構成するときにシンタックスそのままよりは目標が分かりやすくするためのもの。
領域理論は必ずしも圏論的にやる必要はない、いまは誰もが圏論的にやってしまうだろうが。
0367１３２人目の素数さん
2012/01/17(火) 12:31:54.99ポントリャーギンの双対定理
0368１３２人目の素数さん
2012/01/17(火) 12:47:22.100369１３２人目の素数さん
2012/01/17(火) 14:21:51.27圏論の言葉でなされる圏論的意味論と、
圏論的にされた領域理論は、やはり何か
対応関係みたいなものがあるんですか？
0370１３２人目の素数さん
2012/01/17(火) 19:08:47.14強引に言ってしまえば、
圏論的意味論＝シンタクスを圏論の言葉に直したもの
圏論的にされた領域理論＝セマンティクスを圏論の言葉に直したもの
ってところかな。
ただしシンタクスとセマンティクスは数理論理学的な意味でね。
0371１３２人目の素数さん
2012/01/17(火) 19:33:18.51シンタクスとセマンティクスがトポスを通じて対応することから考えると、
圏論的意味論と圏論的領域理論は本質的には同じものかな、と思いました。
0372１３２人目の素数さん
2012/01/17(火) 21:25:06.13逆だよ
本質的には同じものとして統一的にとらえるために圏論という同じ道具を用いた
0373１３２人目の素数さん
2012/01/17(火) 22:16:26.44そうすると、圏論的意味論と圏論的領域理論は同じと思っていいんですね？
0374１３２人目の素数さん
2012/01/17(火) 22:35:30.35抽象レベルで同じだけど具体化すると別のモノになる
0375１３２人目の素数さん
2012/01/17(火) 22:43:34.59よくわかりました。ありがとうございます。
0376１３２人目の素数さん
2012/01/17(火) 23:12:40.30抽象的に同一というのはよくわからないよ。
0377１３２人目の素数さん
2012/01/17(火) 23:27:23.340378１３２人目の素数さん
2012/01/17(火) 23:38:27.35普遍射の構成の仕方によって、圏論でも名前違って紹介されるじゃん。
0379１３２人目の素数さん
2012/01/17(火) 23:40:00.280380１３２人目の素数さん
2012/01/18(水) 00:00:18.290381１３２人目の素数さん
2012/01/18(水) 01:13:43.43だったら説明してみろ
0382１３２人目の素数さん
2012/01/18(水) 01:54:08.24> 圏論的意味論＝シンタクスを圏論の言葉に直したもの
まあ、こう言ってしまえばその通りなんだが、もう少し分かりやすく言うと
ある形式的体系（シンタクス）Aに対する圏論的意味論というか圏論的モデルとは、
Aのモデルの圏論の言葉による特徴付け（Aのモデルという概念の圏論の言葉による公理化）であって
Aの具体的なモデルではない。
つまり例えば形式的体系Aとして単純型付きλ計算のケースで言えば、
その圏論的モデルがCCC（積閉方圏）であるという事は
CCCという条件を満たすような任意の具体的なカテゴリ（SetとかTopとか）の対象と射によって
単純型付きλのモデルを構成できる、という意味。
> 圏論的にされた領域理論＝セマンティクスを圏論の言葉に直したもの
圏論的な領域理論の走りであり典型でもあるのはSmyth & PlotkinのSIAM論文だろうが
あれは型無しλのモデルである逆極限法によるD_\inftyの構成を圏論の言葉に写したもの。
ところが、型無しλのモデルとしては全然違ったP_\omegaやT^\omegaといった
普遍領域による手法もあり、そういう点でSmyth & Plotkinのは型無しλのモデル
（あるいはその中の外延的モデルに限定したとしても）全般を圏論の言葉で特徴付けたものではない。
圏論とくにトポスなどによって計算可能性を捉えられる「領域」（Scott理論の意味での具体的な代数・位相構造としての領域には限定しない）を
特徴付けようとする試みも一時期はあるにはあったが、その後、その方向の研究が発展しているとは聞かないから、
圏論的意味論や圏論的モデルと同等のレベル（抽象化・一般化）という意味での圏論的領域論は未だ存在していないと思う。
0383１３２人目の素数さん
2012/01/18(水) 08:46:29.00>ある形式的体系（シンタクス）Aに対する圏論的意味論というか圏論的モデルとは、
>Aのモデルの圏論の言葉による特徴付け（Aのモデルという概念の圏論の言葉による公理化）であって
>Aの具体的なモデルではない。
シンタクスAのモデルってのは、Aそのものを圏と見たときにAからの函手（あるいはその range）なので、
「Aのモデル」という概念を与えることと、「Aを圏としてみる」ことは同じこと、というか一方を決めれば他方は自動的に決まる、ということですね。
>圏論的な領域理論の走りであり典型でもあるのはSmyth & PlotkinのSIAM論文だろうが
>あれは型無しλのモデルである逆極限法によるD_\inftyの構成を圏論の言葉に写したもの。
>ところが、型無しλのモデルとしては全然違ったP_\omegaやT^\omegaといった
>普遍領域による手法もあり、そういう点でSmyth & Plotkinのは型無しλのモデル
>（あるいはその中の外延的モデルに限定したとしても）全般を圏論の言葉で特徴付けたものではない。
シンタクスAに対して、そのモデルは何か、を定義したところで、
そういうモデルが存在するかというのは別問題なんですね。
勿論、AからAへの恒等函手という自明なモデルは存在するのだけれど、
これではモデルとして役に立たない。
ここでモデルとして役に立つ、というのは、例えば以下のような利用法が念頭にある。
シンタクスAに等式理論が入っていたとして二つのラムダ式（あるいは何らかのプログラム）がそのシンタクスで等しくないことを示したいときに、
モデルである函手による値が異なれば、その等式理論ではその二つは等しいことは言えないと証明できる。
恒等函手のような自明なモデルだと、
この函手による値が異なることを示すのは等式理論でその二つが等しくないことを示すことに他ならないので、
モデルとしては何も役に立っていない。
こういう意味で役に立つモデルを具体的に作るのが領域理論の目的で、
「圏論的にされた領域理論」はその具体的な作り方を圏論の言葉で表したもの。
従って「圏論的意味論」と「圏論的にされた領域理論」は、関係はあれどもまるっきり別のもの。
0384371
2012/01/18(水) 11:37:08.15ええ。門外漢なものでまったくわかってないんですよ。
上の方でどなたかも書かれてましたが、『意味論』と
呼ばれるものがいろいろあって混乱しておりました。
『意味論』にも『モチーフ』みたいなものが存在して、
そういった『普遍意味論』から他の『意味論』が出てくる
ような状況を想定してみたかったわけです。妄想ですが。
せっかく『圏論的意味論』が『トポス』と結びつけられて
理解できるのだから、『圏論的領域理論』の方も『トポス』
と関係付けられるなら、その両者の関係がいっそう明確な
ものになってくるんじゃないかと期待したいところです。
0385１３２人目の素数さん
2012/01/18(水) 21:47:54.99やったろうじゃん。
0386１３２人目の素数さん
2012/01/19(木) 03:41:36.68> こういう意味で役に立つモデルを具体的に作るのが領域理論の目的で、
まあ、本来はそうなんだが、計算可能関数の集まりを捉える具体的なモデルは色々と見つかったわけだ。
でっ、次は一般的な特徴付けが欲しくなるのが人情。
そこで圏論を使おうとなるのも当然。
という訳でPaul TaylorあたりがSynthetic Domain Theory（そこの"synthetic"という語の意味や意図は
Kockの"Synthetic Differential Geometry"と同様というかそっちからの借用）と言い出したり
FioreとかPlotkinとかがAxiomatic Domain Theoryと言ってはみたんだが
現実には具体的に何か進んだのか良く分からない。俺自身は真面目にフォローしてないし。
> 「圏論的にされた領域理論」はその具体的な作り方を圏論の言葉で表したもの。
それはSmyth & Plotkinとかはね。だけど、本当の意味、つまり圏論的モデル (Categorical Model)とかと
同じ意味での「圏論的領域論 (Categorical Domain Theory)」って分野を作るのは原理的には可能で
TaylorとかFioreとかはやろうとしてたんだよ。それがどうなったのかは分からんが。
> 従って「圏論的意味論」と「圏論的にされた領域理論」は、関係はあれどもまるっきり別のもの。
今の段階（Smyth & Plotkin路線の延長という意味）ではね。ただSynthetic/Axiomatic Domain Theoryが
ある程度の形と内容を持てば、圏論的意味論の領域論への限定版としての圏論的領域論が登場することにはなる。
0387１３２人目の素数さん
2012/01/19(木) 04:07:50.950388１３２人目の素数さん
2012/01/19(木) 15:15:56.240389１３２人目の素数さん
2012/01/19(木) 22:32:56.94まだかい？
0390１３２人目の素数さん
2012/01/20(金) 20:58:03.26スマソやっぱまだきれいに説明するのは無理だわ。
とりあえず大体どういうことをいいたいのかということを言ってみると、
まず、圏論を使ってなにか対象間の関係についての性質を言う、ということをするにあたっては、
性質を明らかにしたい圏の対象間の関係が積とか引き戻しとかの圏一般の特徴的などれか図式に合致
するということを言わなくてはならない。
こういうと難しいけれど、要するに圏論を使って性質を明らかにするのだから、
まず、考えたいいくつかの対象間の関係が圏論的にどの図式にあたるのか？
ということを言わなくてはならないということ。あてはまらないものに無理やり当てはめて
圏論からこれこれの性質が言えるはずだ、をやってしまうとトンデモだからな。
というわけで、まず第一は異なる圏の対象の間の関係の同一性（というか合致だな）をどのようにいうか
というところが問題になるのだが、そこで有効に活用されるのが普遍性だ、というのが自分の主張。
それで、ここからがやってみようとしたけどうまくいかないところで、普遍射の存在はコンマ圏に直すとわかるように
始対象や終対象の存在と同じ、始対象の特徴はいくつかの始対象があるならばそれらは互いに同型というところで、
ある普遍射をはじめにもつ圏が圏同値かなにか同じものだということがいえれば、
それら普遍射はコンマ圏の対象としては始対象なのだから互いに同型（合致している）といえる
という理屈づけだ、というようなことを言いたいのだがうまくできない。
ここまでで、長くなってなにを言いたいのかわからなくなったかもしれん。
言いたいことは、積とか引き戻しを圏論的につかうにあたっての理論付けは普遍性で、
普遍性の有効性は始対象、終対象の性質にある（はずだ）、それを説明しようと思ったが
できんかった。だれか教えてください。
0391１３２人目の素数さん
2012/01/21(土) 05:54:11.16屑哲みたいな、おしゃべりを垂れ流すことになる。
0392１３２人目の素数さん
2012/01/21(土) 05:55:03.180393１３２人目の素数さん
2012/01/21(土) 07:10:23.060394１３２人目の素数さん
2012/01/21(土) 07:28:08.81まったく返す言葉もない。
悔い改めるし、圏論使えるようになりたいので教えてください。
0395１３２人目の素数さん
2012/01/21(土) 07:41:54.03ユーザーは、→ヲタも普段はユニバース辺りで妥協して、仲良くしているよ
0396Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/01/21(土) 08:33:42.59極限も、従って積も差核も引き込みも表現可能関手で解釈出来る。
普遍射も随伴関手も表現可能関手で解釈出来る。
表現可能関手が意味を持つのは米田の埋め込み定理が成り立つからだから
米田の埋め込み定理が圏論で一番重要とも言えるが。
0397Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/01/21(土) 08:50:59.33>極限も、従って積も差核も引き込みも表現可能関手で解釈出来る。
>極限も、従って積も差核（equalizer）も引き戻し（pullback）も表現可能関手で解釈出来る。
0398１３２人目の素数さん
2012/01/21(土) 09:24:08.100399１３２人目の素数さん
2012/01/21(土) 09:27:55.640400１３２人目の素数さん
2012/01/21(土) 10:05:49.73何か違う。そもそも米田の補題が普遍性に関する定理だからそう言えるだけじゃね。
表現を定めること＝普遍要素を定めることじゃん。
0401Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/01/21(土) 10:15:08.99普遍性って何よ
0402１３２人目の素数さん
2012/01/21(土) 10:18:52.28すべての射を一意的に分解できる要素なり射（の性質）
0403Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/01/21(土) 10:34:55.81Set を小さい集合の圏とする。
C を局所的に小さい圏とする。
C^o を C の双対圏とする。
Func(C^o, Set) を C^o から Set への関手全体のなす圏とする。
X ∈ C に対して関手 Hom(−, X)：C^o → Set を h_X と書く。
X に h_X を対応させることにより
関手 h: C → Func(C^o, Set) が獲られる。
このとき h は充満忠実である。
0404Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/01/21(土) 10:35:54.81>獲られる
得られる
0405１３２人目の素数さん
2012/01/21(土) 10:41:35.87一対一対応している（普遍要素から自然変換が一意的に定まっている）からじゃん。
0406Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/01/21(土) 10:44:29.53そこで F ∈ Func(C^o, Set) が与えられたとき F ∈ C であるかどうかが問題になる。
F ∈ C のとき、即ち F が h_X と同型になるような X ∈ C があるとき F を表現可能という。
0407１３２人目の素数さん
2012/01/21(土) 10:45:52.880408１３２人目の素数さん
2012/01/21(土) 10:46:38.380409Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/01/21(土) 10:47:07.76だから何？
0410１３２人目の素数さん
2012/01/21(土) 10:54:20.840411１３２人目の素数さん
2012/01/21(土) 11:28:36.71わからないって何が？
0412１３２人目の素数さん
2012/01/21(土) 11:37:57.69米田の埋め込み定理じゃなくて米田の補題が圏論で一番大事といいたいのか？
それだったら大差ないだろ
米田の埋め込み定理は米田の補題の（トリビアルな）系だから
米田の埋め込み定理より重要と言おうと思えば言えるが
0413１３２人目の素数さん
2012/01/21(土) 12:05:58.36>>409 の返しがイマイチだった適当に切り上げたかった。
0414１３２人目の素数さん
2012/01/21(土) 13:17:16.19既存の書籍、論文と変わりなし。もっと風変りでもよかった。
0415１３２人目の素数さん
2012/01/22(日) 19:27:26.77圏論でプログラム仕様を書いた例を見たいんだがどこかにある？
0416１３２人目の素数さん
2012/01/22(日) 20:05:17.26情報処理学会の特集記事のpdfがオンラインで読めたはず
抽象度が低くていいならHaskellのコードを見ればいいと思う
0417１３２人目の素数さん
2012/01/22(日) 20:29:29.43クマは都合が悪くなると、いつも居直ってそう言うんだw
自分の無知を認めることが不可能なんだなwww
0418１３２人目の素数さん
2012/01/22(日) 20:37:37.710419１３２人目の素数さん
2012/01/22(日) 20:41:09.75それこそが鮮人魂というもんじゃよ。
まさに盗っ人猛々しいを具現しとる。
0420１３２人目の素数さん
2012/01/22(日) 21:29:06.72サンクス。だが、これのこと？
http://www.ipsj.or.jp/07editj/promenade/
その特集のタイトルの断片でも分かる？
0421１３２人目の素数さん
2012/01/22(日) 21:36:46.91自分自身を出力するプログラム が一番それっぽい気がする
0422１３２人目の素数さん
2012/01/22(日) 23:02:00.12たしかに。しかし、小さなおもちゃでもよいので、一応何かのシステム仕様
と呼べる一まとまりの記述例が見てみたいのだが、この記事の中には
そういうのは無いようだが？圏論はソフト仕様が書ける決定版みたいな
言われ方をしているのだが、案外その記述例はあんまり無いのかな？
0423１３２人目の素数さん
2012/01/23(月) 00:04:26.230424１３２人目の素数さん
2012/01/23(月) 21:44:18.380425１３２人目の素数さん
2012/01/24(火) 23:10:25.01「ソフト仕様が書ける」の意味は、「実際のソフト開発に耐えうるソフト仕様が書ける」ではなくて、「論文を書くときに数学的解析に耐えうるソフト仕様が書ける」だから
実際のソフト開発で使える圏論仕様言語の普及は、自動デバグ技術の改良にかかってる
圏論で書いた仕様言語そのものを見たければ、「論理プログラミング コンビネータ 圏論」あたりをキーワードにして論文をあさってみれば良いかと
0426１３２人目の素数さん
2012/01/25(水) 01:21:27.290427１３２人目の素数さん
2012/01/25(水) 18:58:28.47自然変換の｢自然（natural）｣はどういう意味なのでしょうか？
自然変換の例を見ても特に自然という感じはしないのですが。
0428１３２人目の素数さん
2012/01/25(水) 20:20:33.43http://www.amazon.co.jp/dp/4785313013
0429１３２人目の素数さん
2012/01/25(水) 20:36:34.47ありがと。
>「ソフト仕様が書ける」の意味は、「論文を書くときに数学的解析に耐えうるソフト仕様が書ける」だから
>ラムダ計算を「プログラムが書ける」というのと同じだな。
それでよかったんだ。
もちろんモナドを使った例を見たいのだが。
>「論理プログラミング コンビネータ 圏論」
あんだけ騒いでんだからすぐに出会うくらいでもいいと思うが、
なかなかヒットせんわ。もうちょっとやってみるが。
0430１３２人目の素数さん
2012/01/25(水) 21:01:29.00圏論は技術的には、抽象代数や関数（ラムダ計算）の一般化とみえます。
（だからKummerさんなどの代数専門家や関数プログラマにはまず技術的
な点から理解が容易なのだろうと思います。）
しかし圏論は抽象代数や関数に対して何らかのプラスアルファあるいは
飛躍があるはずだと思いますが、それは何なのでしょうか？
飛躍には技術的なものと思想的なものがありそうですが、それぞれその
内容はどんなものでしょうか？それらについて書いたなにかよい文献は
あるでしょうか？
0431１３２人目の素数さん
2012/01/25(水) 21:01:47.40http://arxiv.org/pdf/1009.2793v1.pdf
http://arxiv.org/pdf/1012.4895v1.pdf
http://arxiv.org/pdf/1011.6491v2.pdf
http://arxiv.org/pdf/1102.4769v1.pdf
http://arxiv.org/pdf/0808.2953v4.pdf
http://arxiv.org/pdf/1201.3108v1.pdf
http://arxiv.org/pdf/1010.5023v1.pdf
http://arxiv.org/pdf/1109.0784v1.pdf
ガチコードで見たければParsecのコードをのぞけばいいと思う
0432１３２人目の素数さん
2012/01/25(水) 21:05:01.26http://arxiv.org/pdf/1109.0782v2.pdf
http://arxiv.org/pdf/cs/0609104v1.pdf
0434１３２人目の素数さん
2012/01/25(水) 21:27:33.100435１３２人目の素数さん
2012/01/27(金) 05:15:52.920436１３２人目の素数さん
2012/01/27(金) 16:56:49.64随伴というのは、逆、裏、対偶となにか関係ありますか？
0437１３２人目の素数さん
2012/01/28(土) 00:09:36.280438１３２人目の素数さん
2012/01/28(土) 00:24:19.80逆裏対偶という論理学の概念をそのままもってきたのでトポスなどを連想させてしまったのですが、
逆は逆関手くらいの意味でした。裏関手や対偶関手なんていうのは耳にしませんが、でも随伴というのは
こういう意味での（どういう意味かと言われそうですが）真偽概念が入らなくても、逆操作や裏返し操作
と関係するのではないかという質問でした。どうでしょうか？
0439１３２人目の素数さん
2012/01/28(土) 00:47:03.20裏返しというより、矢印の付け替えという気がしないでもない
0440１３２人目の素数さん
2012/01/29(日) 10:17:29.50結局その程度かもしれんな。矢印って中途半端な記号だな。形の法則ってのも思い出すな。
あれは消えたんだろ？（ああこれは439とは関係ないコメントだよ。）
0441１３２人目の素数さん
2012/02/02(木) 20:47:26.950442１３２人目の素数さん
2012/02/02(木) 21:30:57.59みたいな表現は使わないほうがいい。誰でも言えるし。
0443１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 18:47:21.750444１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 19:07:19.18この感動、誰かに伝えたい
0445１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 19:23:02.190446１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 20:55:02.02是非教えてほしい！
0447１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 21:07:59.530448１３２人目の素数さん
2012/02/03(金) 21:53:22.40嘘だろう？それ分かるはずない概念なんだが。
0449１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 11:46:45.97集合論ではどう表現されてたのか
トポスでどう利用されるのか
が分かった
0450１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 20:13:37.41この人エライと思うけど、結局、それでどうしたと思わなかった？やっぱり感動した？
例えばPBやPOはposetの例が分かりやすいが、俺はそれでどうしたと思う。
とにかく圏論には449のように理解するまでに難儀するがその割にはそのうまみがはっきりせん概念が多いと
思うんだが、これはなんでかな？
0451１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 20:28:04.52集合論と論理学を拡張できる
例えば、論理学で様相論理を拡張する論文を書くときに、圏論で定式化するとカッコ良くね？
0452１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 20:47:56.86レスありがと。
>例えば、論理学で様相論理を拡張する
単なる例なのだろうが、この文がわからんかった。論理学の分野において
既知の様相論理をなんらかの点で拡張するというような意味だよね？ｗ
>圏論で定式化するとカッコ良くね？
だから、それは、圏論のどこがカッコいいのかもっとハッキリしないと
0453１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 20:55:04.94圏論のカッコいいところは集合の要素ひとつひとつに言及せずに射だけで話を完結できる点
集合論で説明するときは集合がwell-defineか検証した上で 具体例→抽象化→具体例 という手順が必要だけど、圏論だといきなり 抽象→具体例 で説明できる
0454１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 20:55:10.28オレはアインシュタインの原論文のように、数学は初等的でもとにかく言いたいことが
有る論文がカッコ良いと思うんだ。
0455１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 21:03:45.460456１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 21:10:32.17すまんが2行目以降わからんかった。
>いきなり 抽象→具体例 で説明できる
なにか、あれだよ、って例ある？
イコライザーやプルバックやプッシュアウトがそれの役にたつか？
0457１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 21:13:46.82>矢印が本質
あんまりだｗ そんな説明ではわからんでしょ。射が本質だと言っているのだろうが。
0458１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 21:21:08.270459１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 21:47:51.84プルバック(とプッシュアウト)で作ったトポスの無数に考えられる具体例の一つが述語論理
0460１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 22:01:05.57それで我々の知見がどう深まる（あるいは広がる）のか、というのが分からん。
というか、深まりはしないと思うんだが。
例えば、述語論理はプルバックとプッシュアウトからだけ作られるわけではないだろ。
具体例の一つが述語論理なんていっても、一般化のしすぎだろ。
0461１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 22:05:11.30を見せた方が、圏論としては面白いんじゃないか？
0462１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 22:44:07.77同じくらい無意味だな
0463１３２人目の素数さん
2012/02/04(土) 23:05:28.28同意
0464１３２人目の素数さん
2012/02/05(日) 12:40:28.65その定義だとラッセルのパラドックスが出てくる
0465１３２人目の素数さん
2012/02/05(日) 13:10:05.43トポスとして論理を眺めたら構造が4つの射だけになった
これが様相論理の最小単位(古典論理の同値律、矛盾律、排中律のうち排中律を省いたモノ)
この構造の射と対象からプルバックの性質を除くと論理演算が束にならない
0466１３２人目の素数さん
2012/02/05(日) 18:24:36.32>これが様相論理の最小単位
なんで様相論理？
>この構造の射と対象からプルバックの性質を除くと論理演算が束にならない
それはそうだろとは思うが。
でやっぱり、何が新たに見えるようになったのかと思う。
0467１３２人目の素数さん
2012/02/05(日) 19:38:37.99様相論理 ⊃ 古典論理
集合論からは決して見ることのできなかった4本の射という論理の本質が新たに見えるようになった
0468１３２人目の素数さん
2012/02/05(日) 19:47:30.264本の射とは？
0469１３２人目の素数さん
2012/02/05(日) 19:53:10.210470１３２人目の素数さん
2012/02/07(火) 16:56:41.49, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
/ ／:::::／ ＼
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| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
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| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ ヽ、 |
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0471１３２人目の素数さん
2012/02/12(日) 19:00:46.220472１３２人目の素数さん
2012/02/12(日) 20:46:35.19あと現時点で正準と標準をごっちゃにする根拠もってるのか知りたいわー。
0473１３２人目の素数さん
2012/02/12(日) 21:32:57.86へー、読み込んでるね。正準と標準なんて気づかんかった。どういう意味？
あそこに書かれている圏論の限界なんて、（少なくともまあ当分は）まったく
気にならない（気にすべきでもない）限界だと思ったけどね。
もっとほんとの弱点を言ってほしい。
0474１３２人目の素数さん
2012/02/12(日) 23:20:47.03わざわざ直に集まっているんだから内々で意思統一ぐらいしておいてよ。
弱点なんてもうほぼわかってるだろ、圏論使っても話がほぼ噛み合わないところだよ。
0475１３２人目の素数さん
2012/02/13(月) 23:06:01.99素朴圏論みたいなもんがないから何か専門を持ってる数学者は手を付けようとせず広まりようもない
0476１３２人目の素数さん
2012/02/13(月) 23:14:02.35集合論が広まったのは、comprehension principle があったから
この comprehension principle がルーズで使い勝手が良すぎたから縦横無尽に駆使でき、いろいろな分野に応用できた
しかし、comprehension principle 自身からラッセルのパラドックスが生まれ、素朴集合論の面倒臭い部分が暴露されてしまった
それを克服する公理集合論やNBGは、大して広まっていない
圏論はそもそもが公理こそが本質なので、公理集合論よりは広まっている
0477１３２人目の素数さん
2012/02/14(火) 08:19:18.10同感かもしれない。
もうちょっと話してくれないか？
>>476
>圏論はそもそもが公理こそが本質
これはどういうこと?圏論の公理ってどのこと？
0478１３２人目の素数さん
2012/02/14(火) 21:07:06.74圏は圏の定義(オブジェクト、射)だけが本質
抽象度が高すぎるので中身はどうでもよくなってしまっていて、この定義だけが圏論の本質といえる
0479１３２人目の素数さん
2012/02/14(火) 22:14:33.44無内容な気がするけどね
0480１３２人目の素数さん
2012/02/14(火) 22:22:29.52だからはじめ数学者は圏論なんか無内容だと言っていた
群論ははじめに具体例があってそれを何百年もかけて抽象化していったけど、圏論はいきなりはじめから抽象物を目の前に出されたので数学者ですら面食らった
0481１３２人目の素数さん
2012/02/14(火) 22:33:43.44射だけが本質というのは単純化し過ぎだろう。
圏の定義の引用も極めて粗雑過ぎる。
もっとまじめに議論してくれ。
0482１３２人目の素数さん
2012/02/14(火) 22:34:14.39群論とか圏論の研究が無意味だとは言ってないけどね
0483１３２人目の素数さん
2012/02/15(水) 01:17:03.96群の定義を群論の本質と呼ぶのが無意味な理由は、群は閉じた計算の最少単位をモデル化したものなので、群論には計算という目的が先にあるから。
群論の本質は計算。
一方、圏論の本質は射(とオブジェクト)の定義だけ。
「群論て何なの？」という問には「計算がwell-defineされる最少単位の分析」と答えが正確で親切。
「圏論て何なの？」という問には「圏の定義から演繹できるモノ」という答え以外はすべて間違ってる。
圏論初期の数学者たちからの「で、何が目的なの？」というツッコミの嵐を思い出すべき。
0484１３２人目の素数さん
2012/02/15(水) 04:26:51.45群も１個の対象からなる圏
群は具体例が沢山あるが圏はない？
圏だって腐るほどあるだろ
0485１３２人目の素数さん
2012/02/15(水) 04:34:37.36それに対する答えはあんたの頭が固いだけ
0486１３２人目の素数さん
2012/02/15(水) 04:37:20.73未開の人間は１、２、３までしか数を数えられれないらしい。
それ以上は沢山となるｗ
0488１３２人目の素数さん
2012/02/15(水) 08:30:17.58圏論の命題の証明を追うのに具体例は不要
むしろ邪魔
しかし、圏論を応用する場合は別
0489１３２人目の素数さん
2012/02/15(水) 08:32:11.51具体例が思い浮かばないって中学生か？
0490１３２人目の素数さん
2012/02/15(水) 08:38:18.04むしろ多すぎるのが（ドキュンには）問題なのかもしれない
空気を普段意識しないのと同様
0491１３２人目の素数さん
2012/02/15(水) 10:02:01.82この人たちは、まだ学習しかしたことがない学生さんなのだろうと思う。
抽象（記号操作）だけなら、あなたたちは機械より劣る。
ちなみに
>圏の例は腐るほどあるから具体例の心配は要らない
良い例が要る
>空気を普段意識しないのと同様
圏論やってるにしては喩えが下手
0492１３２人目の素数さん
2012/02/15(水) 10:17:21.75抽象だけとは言ってない
しかし、仮に「だけ」だとして今のところ機械に圏論の命題の大部分は
証明出来ていない（一部の単純な命題は別）。
だからその点で人間はまだ機械より上
>良い例が要る
例えば集合の圏は良い例ではないのか?
>圏論やってるにしては喩えが下手
それはあんたがその喩えを理解するだけの見識が無いだけ
0493１３２人目の素数さん
2012/02/15(水) 10:29:20.52それは圏論の責任ではない
あんたの無知と思考力、想像力の不足が原因
0494１３２人目の素数さん
2012/02/15(水) 10:31:03.32１、２、３までしか数えられない未開の土人と同じようなもん
0495１３２人目の素数さん
2012/02/15(水) 10:39:08.31圏論のほとんどの概念は集合の圏で実現されている。
その他にはホモトピー圏も良い例
ホモトピー圏こそ抽象圏の代表例
0496１３２人目の素数さん
2012/02/15(水) 10:55:53.30良い具体例が思い浮かばないからこの計算は理解しづらいのか？
違うだろ
抽象的な計算はそれ自体で十分理解可能だし具体例を必要としない
0497１３２人目の素数さん
2012/02/15(水) 10:58:22.86お前等のことだよ
0498１３２人目の素数さん
2012/02/15(水) 11:15:34.45それから、圏論は未開の土人（の思考）こそ尊重するのではないかなｗ
矢印が分かるだけでも十分なのに３まで分かるというんだから。
0499１３２人目の素数さん
2012/02/15(水) 11:20:02.06だから、そんな計算は機械は即座に理解することだと言っている。さっきから
0500１３２人目の素数さん
2012/02/15(水) 11:22:11.88圏論の計算のレベルwww
0501１３２人目の素数さん
2012/02/15(水) 11:33:14.66>集合圏は圏論の概念の例ではあるが、応用の例ではないだろう。
だから何？
>それから、圏論は未開の土人（の思考）こそ尊重するのではないかなｗ
なわけないだろ
0502１３２人目の素数さん
2012/02/15(水) 11:39:04.75だから何？
だから圏論は機械にまかせておけばよいと？
だから圏論なんて人間のやることではないと？
だから圏論なんて無意味だと？
因みにさっきからいってるけど
圏論のほとんどの命題は計算機で証明出来てないから
0503１３２人目の素数さん
2012/02/15(水) 11:44:40.55これをまず理解しような
応用がすぐ見つからないから理論は無意味というのはドキュン
あわてる乞食は貰いが少ない
ドキュンは目先の利益しか考えない
だからいつまでたっても貧乏
0504１３２人目の素数さん
2012/02/15(水) 11:48:06.77しかし、原爆一発で未開の土人は全滅
0506１３２人目の素数さん
2012/02/15(水) 11:58:32.59負け惜しみ乙
0507１３２人目の素数さん
2012/02/15(水) 12:02:09.11何回も言ってるがそれは圏論の責任ではない
あんたの無知に過ぎない
0508１３２人目の素数さん
2012/02/15(水) 12:05:55.92圏論は原爆といっては言いすぎだが威力は大きい
ある人は圏論は飛び道具だと言ってそれを使うのは卑怯だと言うほど
0509１３２人目の素数さん
2012/02/15(水) 13:01:02.04>抽象（記号操作）だけなら、あなたたちは機械より劣る。
圏論をなめてるだろ
自明でない圏論の命題の証明を理解したことがあるのか？
たとえばアーベル圏の埋め込み定理
これが「今の」コンピュータで証明出来るなら俺の負けでいい
0510１３２人目の素数さん
2012/02/15(水) 15:31:33.58因みに 9999999999×3333333333 これを手計算するのにまともにやるのはアホ
(10000000000 - 1)×3333333333 = 33333333330000000000 - 3333333333 を計算する
0511１３２人目の素数さん
2012/02/15(水) 20:42:46.38述語論理上に定式化した公理系から導かれる定理と言う訳じゃないでしょ
群論のCayleyの表現定理とかとほとんど事情は変わらんよ
難易度が違うだけで
>>509は見かけ上の高級さに騙されてるだけ
0512１３２人目の素数さん
2012/02/15(水) 21:18:15.61>アーベル圏の埋め込み定理は圏論を
>述語論理上に定式化した公理系から導かれる定理と言う訳じゃないでしょ
だから何？
>群論のCayleyの表現定理とかとほとんど事情は変わらんよ
>難易度が違うだけで
だから何？
今のコンピュータで証明出来るの？
> >>509は見かけ上の高級さに騙されてるだけ
見かけ上の高級さに何をどう騙されてるの？
0513１３２人目の素数さん
2012/02/15(水) 21:35:40.34それなら、 「群をわざわざ圏まで抽象する必要性は何か？」 という問いに答えるべき
0514１３２人目の素数さん
2012/02/15(水) 21:51:08.59圏の本質を例示しながら理解してもらうという点では、集合の圏を例に出すのはあまり良くない
理由は、説明の際に id 以外の射を工夫しないと説明が途中で破綻するから
圏の定義だけ目の前に出して、圏はこれがすべてです、が一番良い
0515１３２人目の素数さん
2012/02/15(水) 22:06:36.50>理由は、説明の際に id 以外の射を工夫しないと説明が途中で破綻するから
どう破綻する？
0516１３２人目の素数さん
2012/02/15(水) 22:15:32.92>「群をわざわざ圏まで抽象する必要性は何か？」
抽象化の利点が得られる。
例えば群論に圏論を応用しやすくなる。
0518１３２人目の素数さん
2012/02/15(水) 22:18:27.22NBG上に展開された理論として
やろうと思えば労力さえかければ必ずできることを、
「今のコンピュータでは証明できない」とか言っちゃうセンスが分からん
0519１３２人目の素数さん
2012/02/15(水) 22:19:17.230520１３２人目の素数さん
2012/02/15(水) 22:24:13.35>アーベル圏の埋め込み定理は圏論を
>述語論理上に定式化した公理系から導かれる定理と言う訳じゃないでしょ
どうせ述語論理上に定式化するならZFCを定式化すればいい。
そうすればほとんどの数学の命題が定式化出来る。
0521１３２人目の素数さん
2012/02/15(水) 22:27:33.55>やろうと思えば労力さえかければ必ずできることを、
コンピュータで数百万年かかるのを常識的には出来るとは言わない。
0522１３２人目の素数さん
2012/02/15(水) 22:29:23.25例えば群の表現論で使われてるだろ
詳しくは知らんが
0523１３２人目の素数さん
2012/02/16(木) 19:50:48.15今月号の数学セミナーの談話に載ってたような
圏論はトップダウン型の理論だとかそういうことが言いたいのかな
とてもそうは解釈できないけど
0524１３２人目の素数さん
2012/02/16(木) 22:04:49.240525１３２人目の素数さん
2012/02/16(木) 23:07:22.53トップダウンというのも間違い
「トップ」だけ
0526１３２人目の素数さん
2012/02/16(木) 23:19:03.81他の理論では、公理と定理と「表現」が必要
圏は表現をはじめから度外視してる
0527１３２人目の素数さん
2012/02/16(木) 23:22:51.63>群論のCayleyの表現定理とかとほとんど事情は変わらんよ
>難易度が違うだけで
それを言ったら圏論に限らず数学の命題は全部、公理から単純な演繹で導かれるという点で
ほとんど事情は変わらないだろ
難易度が違うだけで
悔し紛れにくだらんことを
負け惜しみもいい加減にしろよｗ
0528１３２人目の素数さん
2012/02/16(木) 23:24:30.87結果が重要
0529１３２人目の素数さん
2012/02/16(木) 23:24:34.30表現とは何？
0530１３２人目の素数さん
2012/02/16(木) 23:29:48.02別の構造への(準同型)写像
0531１３２人目の素数さん
2012/02/16(木) 23:29:50.06公理から全ての命題が導かれるという意味なら当たり前だろ
圏論に限らない
0532１３２人目の素数さん
2012/02/16(木) 23:33:54.82それなら関手は表現だろ
圏論でも表現を度外視するどころか使いまくりじゃんｗ
0533１３２人目の素数さん
2012/02/17(金) 00:05:58.11集合論が基礎にある場合、ある公理系から導かれるすべての命題のうちのいくつかは、別の公理系を用いないと証明ができない
だからこそ数学基礎論として公理そのものである圏に期待が集まった
集合論では不都合な定理をしらみつぶしに探し出してそれを証明するしか公理の階層を分析できない
あと、表現は公理からは出てこない
>>532
関手は圏と圏の間の射
他の構造への写像ではないので、表現とは呼べない
0534１３２人目の素数さん
2012/02/17(金) 00:07:27.580535１３２人目の素数さん
2012/02/17(金) 00:26:53.03>集合論が基礎にある場合、ある公理系から導かれるすべての命題のうちのいくつかは、別の公理系を用いないと証明ができない
矛盾してる文章だな。
「ある公理系から導かれるすべての命題のうちのいくつか」はその公理系で証明されているから。
「別の公理系を用いないと証明ができない 」命題になり得ない。
0536１３２人目の素数さん
2012/02/17(金) 00:32:37.30>関手は圏と圏の間の射
>他の構造への写像ではないので、表現とは呼べない
例えば群 G の置換表現というのは G から集合 S の自己同型群 Aut(S) への準同型のこと。
あんたの定義だとこれは同じ群という構造への写像だから表現とは呼べないことになる。
0537１３２人目の素数さん
2012/02/17(金) 01:31:09.51中途半端だな、自然変換とでも言っておけばｗ
0538１３２人目の素数さん
2012/02/17(金) 02:06:13.22環上の加群の圏の性質とかが出て来ると思ってんの？
そこらへんは集合論よりもむしろ具合が悪いと思うけど。
集合論だと一応ZFC乃至BGの中で定義から証明まで全部できるからね。
あと
＞集合論では不都合な定理をしらみつぶしに探し出してそれを証明するしか公理の階層を分析できない
とか書いたら圏論の方が独立性証明が得意だと言っているように読めるけど
そこらへんも寧ろ逆だと思う
0539１３２人目の素数さん
2012/02/17(金) 03:24:27.32>集合論が基礎にある場合、ある公理系から導かれるすべての命題のうちのいくつかは、別の公理系を用いないと証明ができない
例えば連続体仮説みたいなもののことを言ってるのか？
それなら集合論に限らないと思うが。
どんな公理系だろうとその中の命題でその公理だけからは証明出来ないものが存在するというのは
ゲーデルが証明したと聞いたが（俺の勘違いか？）。
0540１３２人目の素数さん
2012/02/17(金) 04:28:39.96群とは違って演算（射の合成）はすべての射の対 (f, g) に対して必ずしも定義はされないが。
関手はこの代数系の準同型である。
こう考えると圏論をことさら特別扱いする必要はない。
もう一つ通常の代数系と異なるのは射の全体が集合とは限らずクラスであること。
しかし、これも適切な注意をしていれば通常問題にならない。
なんならGrothendieckの宇宙を導入して射の全体を集合と考えることも出来る。
0541１３２人目の素数さん
2012/02/17(金) 07:10:18.36おまえの勘違い。
「その中の命題でその公理だけからは証明出来ないものが存在」しない公理系はたくさんある。
たとえば代数閉体の理論などはその例。
0542１３２人目の素数さん
2012/02/17(金) 08:28:02.66仮にそうだとしてもその公理系が自然数論を含まなければ
通常の数学をその上で展開するための公理系には使えない。
ゲーデルの第1不完全性定理
自然数論を含む帰納的に記述できる公理系が無矛盾であれば、証明も反証もできない命題が存在する。
0543１３２人目の素数さん
2012/02/17(金) 08:37:00.27たくさんある種々の公理系じゃなくて圏論だよね。
代数閉体の理論が完全かどうかなんてどうでも良い。
圏論のsyntax上完全な公理系があるの？それは初耳。
いずれにせよ、公理かどうかが機械的に判定できて、
しかも数論の初歩的な命題をまともに証明できる理論ならば必然的に不完全になる。
圏論の良さはたくさんあると思うけど、強調点を間違っているよ
0544１３２人目の素数さん
2012/02/17(金) 10:13:55.14>圏論の良さはたくさんあると思うけど、強調点を間違っているよ
同意！
0545１３２人目の素数さん
2012/02/17(金) 10:16:07.040546１３２人目の素数さん
2012/02/17(金) 11:23:53.30圏論が計算機科学で使われるようになってこういうのが数学板に来るから話が噛み合わない。
0547１３２人目の素数さん
2012/02/17(金) 18:08:26.19公理からの「導出」の正しさが別の公理系を用いないと証明できない
>>536
自己同型写像は表現だが、表現は自己同型写像ではない
0548１３２人目の素数さん
2012/02/17(金) 18:28:29.70別の言い方をすると、そもそも集合や群の公理は、定義ではなくむしろ「性質」
群の例で言うと、「結合則、逆元と単位元の存在が満たされて、演算が閉じてるモノの集まり」が群の定義だけど、これは陽に出てこない制約がたくさんある
適当にモノを集めても群にはならない
つまり、どういう集まりなら群になるのか定義からは分からない
だから、この「群の構造を研究する＝群の公理を研究する」という変な話が出てくる
一方、圏の方は公理からは何も出てこない
射から対応という概念すらも取り去って可能な限り単純にした構造だから、圏の公理には陰に隠れた秘密は何もない
圏の定義にいろいろな制約を陽に加えることによって、はじめて関手や表現が出てくる
つまり、極論すれば、公理が複雑すぎて分からないからこれを分析する必要があるのが群論や集合論で、一方、再単純な公理に構造を付加して複雑なモノを構築しようというのが圏論
0549１３２人目の素数さん
2012/02/17(金) 18:36:37.24自然数論を含む帰納的に記述できる公理系が無矛盾であれば、証明も反証もできない命題が存在する。
↓
そのような命題を証明・反証できれば、それを証明・反証した公理系は、元の公理系とは本質的に異なる公理系である。
↓
圏に部品をくっつけたり取ったりすることによって、どの公理が公理系の違いを分ける本質だったかが分かる。
0550１３２人目の素数さん
2012/02/17(金) 19:40:01.94>つまり、どういう集まりなら群になるのか定義からは分からない
それを言うなら圏だって同じじゃないの？
どういう射の集まりなら圏になるのか定義からは分からない
0551１３２人目の素数さん
2012/02/17(金) 19:44:21.86>自己同型写像は表現だが、表現は自己同型写像ではない
誰も表現は自己同型写像であるとは言ってない。
突然、突拍子もないこと言ってどうした？
0552１３２人目の素数さん
2012/02/17(金) 19:53:26.96>圏に部品をくっつけたり取ったりすることによって、どの公理が公理系の違いを分ける本質だったかが分かる。
仮にそうだとして基礎論専門以外の大多数の数学者には関係ない
大多数の数学者はZFCというか素朴集合論で何不自由なく仕事してる。
0553１３２人目の素数さん
2012/02/17(金) 20:14:27.39モノの集まりをもってくればそのまま圏になる
idだけあけば他の射はあってもいいしなくてもいい
射の合成が要請されるのは、codomがdomが等しいときだけだから、圏にならない集まりを構築する方がテクニックが必要
0554１３２人目の素数さん
2012/02/17(金) 20:17:04.78基礎論専門以外の大多数の数学者には圏論は必要ない
数学基礎論にタッチしない分野の大多数の数学者は圏論なしで何不自由なく仕事してる
0555Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/02/17(金) 20:26:54.65>モノの集まりをもってくればそのまま圏になる
それで小さい圏はどう定義する？
0556１３２人目の素数さん
2012/02/17(金) 20:30:52.10>数学基礎論にタッチしない分野の大多数の数学者は圏論なしで何不自由なく仕事してる
そんなことはない
例えば代数幾何では圏論はほとんど不可欠
0557１３２人目の素数さん
2012/02/17(金) 20:36:39.54そもそも圏論は位相幾何で必要になったから考え出された
基礎論のためじゃない
0558１３２人目の素数さん
2012/02/17(金) 20:40:21.17圏の公理に各Hom setが空か単元かという制約を加える
0559523
2012/02/17(金) 20:48:15.83圏というのは著しく一般的な概念なので
公理だけからは非自明な性質はほとんど何も帰結しないし、だからこそ良い
その圏がさらにどういう性質を満たす圏であるかが圏論的に重要な問題となる、
みたいなこと言いたいのかな
だとしたら何となくこれまで言ってたことも分かる気がするけど
ただ集合論や不完全性を引き合いに出してるところは
ほぼ全部誤解だよ
0560１３２人目の素数さん
2012/02/17(金) 20:55:56.51代数幾何と位相幾何は数学基礎論にタッチする
不変量が幾何公理系の選択(ユークリッド幾何か非ユークリッド幾何か)に依存するか示さないといけないから
射(の双対)だけに注目する圏論が必要になったのはこういう経緯による
0561１３２人目の素数さん
2012/02/17(金) 20:59:07.730562１３２人目の素数さん
2012/02/17(金) 21:00:24.43そんなこと研究してる研究者は
圏論が出来たときにはほとんど居なくなってただろ
デタラメ言うな
0563１３２人目の素数さん
2012/02/17(金) 21:02:26.37幾何不変量が幾何公理系によらないことを圏論を使わずに証明できますか？
0564１３２人目の素数さん
2012/02/17(金) 21:04:24.32質問の意味が分かってないな
ある圏の射の全体が集合かクラスかの区別をどうつける？
0565１３２人目の素数さん
2012/02/17(金) 21:11:37.400566１３２人目の素数さん
2012/02/17(金) 21:13:31.54>圏というのは著しく一般的な概念なので
>公理だけからは非自明な性質はほとんど何も帰結しないし、だからこそ良い
圏がそれほど一般的な概念とは思えないが
射の結合律はかなり強い制約
圏よりもっと一般的な概念で有用なのは有向グラフ
これは圏から射の合成を除いたもの
有限有向グラフはquiverと言って体上の有限次多元環の表現論で有用
0567１３２人目の素数さん
2012/02/17(金) 21:16:21.53オブジェクトに言及しないかぎり区別はつかない
0568１３２人目の素数さん
2012/02/17(金) 21:28:10.92数学に疎い連中だから話がつまらないし噛み合わない
0569１３２人目の素数さん
2012/02/17(金) 21:28:53.61圏が究極までに抽象化したのは射ではなく対象の方だという気がしないでもない
0570１３２人目の素数さん
2012/02/17(金) 21:30:30.89オブジェクトに言及したらどう区別つける？
0571１３２人目の素数さん
2012/02/17(金) 21:49:04.21オブジェクトに言及しちゃったら圏論のありがたみが消える
原理主義派ならオブジェクトに言及した時点で圏論ではないと言わなければならない
0572１３２人目の素数さん
2012/02/17(金) 21:55:19.54恒等射とオブジェクトはほとんど同じだろ
0573１３２人目の素数さん
2012/02/17(金) 21:59:59.87いわゆる「数学的」な話がしたいなら圏論スレじゃなくて
ホモロジー代数スレとか立てた方が良いんじゃないの？
前回の数セミ二月号に載ってたような話がどうなるかは知らんけど
0574１３２人目の素数さん
2012/02/17(金) 22:04:12.07IDはあるオブジェクトと同一視できるけど、IDでそのオブジェクトの中身のどれがどれに対応してもいい
0575１３２人目の素数さん
2012/02/17(金) 22:08:15.79それは本末転等
基礎論とか計算機科学は圏論の応用分野の一部に過ぎない
例えば群論が量子力学とか化学に応用されるから群論スレでは
数学の話は抜きで行こうというようなもん
0576１３２人目の素数さん
2012/02/17(金) 22:12:59.94>IDでそのオブジェクトの中身のどれがどれに対応してもいい
オブジェクトの中身とは？
0577１３２人目の素数さん
2012/02/17(金) 22:30:56.86圏のオブジェクトには射の両端になることができるモノという以外の意味はない
0578１３２人目の素数さん
2012/02/17(金) 22:40:39.65オブジェクトに言及するとなんで圏論のありがたみが消える?
0579１３２人目の素数さん
2012/02/17(金) 22:44:33.69オブジェクトの中身を言い出したのはあんただろ
俺は恒等射とオブジェクトはほとんど同じと言っただけ
オブジェクトの中身なんて一言も言ってない
0580579
2012/02/17(金) 22:46:44.19でオブジェクトの中身ってどういう意味？
0581１３２人目の素数さん
2012/02/17(金) 22:52:12.36オブジェクトをIDと同一視して中身を無視すると「圏は公理だけだ」原理主義者になるけど
0582１３２人目の素数さん
2012/02/17(金) 22:58:24.24Setの場合はある集合のある要素
0583１３２人目の素数さん
2012/02/17(金) 23:05:35.17要は圏論properだと相当無内容なんだよね
それこそ有向グラフスレ（みたいなものがあったとして）に毛が生えたみたいなもんで
だからこそ数学セミナーの最近の連載も、それぞれの分野の
専門知識ばかり難しくて圏論的には大して難しい子として無いみたいなことになる
0584579
2012/02/17(金) 23:27:50.73要するにオブジェクトの要素だろ。
そんなもん圏論では（ドキュン以外）普通考えない。
だからわざわざオブジェクトの中身に言及するなとか言う必要はない
0585579
2012/02/17(金) 23:28:46.59だからオブジェクトの中身ってどういう意味？
0586579
2012/02/17(金) 23:31:14.50>位相幾何だって応用の一つに過ぎないよ
位相幾何は数学プロパー
計算機科学とか数理論理学は違う
0587１３２人目の素数さん
2012/02/17(金) 23:34:09.96>要は圏論properだと相当無内容なんだよね
それはあんたが圏論の初歩しか知らないからだろ
せいぜい米田の補題とかその程度
それくらいなら圏論は無内容と思うのは無理ない
0588１３２人目の素数さん
2012/02/17(金) 23:40:07.17「圏は公理だけだ」ってどういう意味？
わかるように説明してくれ
0589１３２人目の素数さん
2012/02/18(土) 00:15:58.97>それこそ有向グラフスレ（みたいなものがあったとして）に毛が生えたみたいなもんで
上で書いたように有限有向グラフ（quiver）は無内容どころか非常に有用
quiverの表現論のおかげで有限次多元環の理論は飛躍的に進歩した。
0590１３２人目の素数さん
2012/02/18(土) 00:28:50.860591１３２人目の素数さん
2012/02/18(土) 02:12:51.420592１３２人目の素数さん
2012/02/18(土) 08:36:47.84それはあんたが無知蒙昧なだけで圏論の責任ではない。
何度も言うように圏論は抽象度が高い。
だから未開の土人同様にドキュンには理解不能。
分かりやすく言うと猫に小判、豚に真珠、馬の耳に念仏
0593１３２人目の素数さん
2012/02/18(土) 09:15:37.44何度も言われてるようにあんた駆け出しの学生だろ
0594Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/02/18(土) 09:36:05.34違う
0595１３２人目の素数さん
2012/02/18(土) 10:18:50.01敬愛するKummerさんが．．．
信じられんがそうだったらスマン
0597Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/02/18(土) 12:52:16.43１、２、３、．．．という自然数も非常に抽象的なもの。
リンゴが３個あるのも椅子が３脚あるのも同じ３と認識すること。
これはかなり抽象的な認識である。
これを具体的と思うのは慣れているからに過ぎない。
圏論も同じ。
慣れれば具体的に思えてくる。
0598１３２人目の素数さん
2012/02/18(土) 13:13:17.36> １、２、３、．．．という自然数も非常に抽象的なもの。
> リンゴが３個あるのも椅子が３脚あるのも同じ３と認識すること。
> これはかなり抽象的な認識である。
同意
> これを具体的と思うのは慣れているからに過ぎない。
それは慣れじゃない。日本語の話者にとっては抽象的な数の認識は困難なんだよ。
少なくとも英語とかフランス語とかの話者と比べて。
日本人の大多数が抽象的な思考において欧米人に劣る原因は実は上のKummerさんの文章に答えがあるというのが俺の考え。
（Kummerさん自身は劣ってないと思っているけどね）
マトモな日本語では「リンゴが３ある」とか「椅子が３ある」とは絶対に言わない。
必ず数える対象のジャンルに応じて「個」とか「匹」とか「羽」とか「脚」とかを付ける。
つまり、マトモな日本語を常に使っている限り、椅子は３「脚」であって３「個」でも３「匹」でもないし、
３脚の椅子と３個のリンゴなんて足す事は不可能というか間違いなのだ。だって「脚」と「個」が違うからね。
３個のリンゴと合わせて勘定できるのは同じ「個」を使える例えばミカンとか品物とかに限定される。
つまりマトモな日本語を常に使用している事は即ち、抽象的な数という認識をしない訓練を常に行っているに等しい。
言葉を覚えて以来、ずっとそんな抽象的な認識をしない訓練を日本語を通してやっていたら
そりゃ本来の生物学的な意味での脳の潜在能力が日本人と欧米人で同じだったとしても、
成長を経て成人になるまでに最終的に作り上げられる神経細胞ネットワークで構成される大脳は
抽象的な思考を排除する、あるいはそこまで言わなくとも抽象的思考に耐えられないものになってしまって当然だ。
だから日本人は抽象的な思考が苦手だし、一般化や普遍的なルールを考え出してそれに従って行動するのも苦手なのだ。
常に個別具体な事柄に対応する形でしか行動できないという日本民族の根本的な欠陥の原因は、正にここにある。
「日本語を捨てますか？、世界で孤立して絶滅しますか？」、これが経済・資源・食糧などの相互依存を通して否応なく国際化が進み
世界の中での国家間や民族間の生存競争が激化する現代に於いて、日本人に突き付けられた究極の選択。
0599１３２人目の素数さん
2012/02/18(土) 13:23:23.740600１３２人目の素数さん
2012/02/18(土) 13:54:30.19>つまり、マトモな日本語を常に使っている限り、（中略）
>３脚の椅子と３個のリンゴなんて足す事は不可能というか間違いなのだ。
それがむしろ正しいのじゃないかい？日本語に３という概念があること自体で
すでに抽象的だし，３脚と３個を（ただちには）足さないというのは数学的にも
妥当だろ。
細かい点だったが、ことほどさように全体の論調がすこぶる短絡的なので
一言言った。
0601１３２人目の素数さん
2012/02/18(土) 21:15:31.87圏が具体的と思えるならまだ圏に慣れていない証拠
自然数が「番号付け可能なモノ」の抽象物なら、圏は「遷移以外を抽象化したモノ(具体性をとことん取り去ったモノ)」の抽象物だから
0602１３２人目の素数さん
2012/02/18(土) 21:23:07.98英語こそ piece of とか sheet of とか cup of とかうるさく文句言われるのだが
日本語ならたいてい「個」か「の」でOK
そもそもセム系言語は双数系とか複数形で数で単語そのものから変化させるのが普通
この理屈からいくと、日本は1,2,3を物の数として抽象化してるのに対して、セム系言語を使う欧米人は1と2と3以上の抽象化ができてないことになる
0603１３２人目の素数さん
2012/02/18(土) 21:53:09.64> リンゴが３個あるのも椅子が３脚あるのも同じ３と認識すること。
こうやって共通の要素を取り出すことを抽象って言う。
”抽象した要素の間の複数の規則を抽象すること”を繰り返して圏が得られる。
0604１３２人目の素数さん
2012/02/18(土) 21:59:30.53抽象バカ
0605１３２人目の素数さん
2012/02/19(日) 03:35:43.54, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
/ ／:::::／ ＼
/ /::::::/ | | | |
| |:::::/ / | | | | | |
| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
. | /::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ | '､ ＼
| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ ヽ、 |
| |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ /:＼__/‐､
| |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::| く:::::::::::::￣|
| /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
| |／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
| /:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/
0606Kummer ◆SgHZJkrsn08e
2012/02/19(日) 08:27:21.19>圏が具体的と思えるならまだ圏に慣れていない証拠
違う。
圏を手足のように日常の道具にしていれば具体的に思える。
というか抽象的とか具体的とかを意識しないようになる。
あんたがその境地に達していないだけ。
0607１３２人目の素数さん
2012/02/19(日) 09:28:36.97ちょうど未開の原住民にファラデーの電磁気実験を説いても無駄なことと同様。
EilenbergとMac Laneが位相幾何におけるある問題を解く必要から圏論を考え出したときも同様。
何アホなことやってんだｗ
その実験および彼等の考えが後に世界を変え、やつら自身の世界も変えることになるとはやつらの想像を遥かに超える。
まさに猫に小判。
0608１３２人目の素数さん
2012/02/19(日) 09:51:43.68>圏を手足のように日常の道具にしていれば
たとえばどんなふうに使っているのか教えてください
0609１３２人目の素数さん
2012/02/19(日) 10:11:53.66そりゃあんたにとっては中身がないだろよｗ
>>607
>まさに猫に小判。
0610１３２人目の素数さん
2012/02/19(日) 10:12:56.01Galois記念スレ
0611１３２人目の素数さん
2012/02/19(日) 10:23:25.27>理論と応用は別
>これをまず理解しような
>応用がすぐ見つからないから理論は無意味というのはドキュン
>あわてる乞食は貰いが少ない
>ドキュンは目先の利益しか考えない
>だからいつまでたっても貧乏
ドキュンは応用を示さないとアイデアの価値を理解出来ない
未開の原住民はファラデーを理解しないし馬鹿にするがラジオやテレビには畏怖の念を抱く
0612１３２人目の素数さん
2012/02/19(日) 10:24:28.94具体例が無いというのは普通はダメだよ
0613１３２人目の素数さん
2012/02/19(日) 10:31:46.27普通の数学者にはそれが常識
>具体から一般へ
>これこそGaussの歩んだ道
しかし、常識に当てはまらない数学者もいる。
しかもとびきり偉大な数学者
0614１３２人目の素数さん
2012/02/19(日) 10:34:07.15応用は後からついてくる
彼の書いたものにはほとんど具体例が書かれていない
0615１３２人目の素数さん
2012/02/19(日) 10:40:12.45随伴と双対とは似たものにみえるのですが、
教科書にはそれらしいことは書かれていません。
２つは全く別物でしょうか？
それともなにか関係があるのでしょうか？
0616１３２人目の素数さん
2012/02/19(日) 10:57:43.77双対関手は随伴関手の特殊なもの
圏 C と圏 D が双対関係にあるとは C が D の双対圏 D^o と圏同値であること。
つまり関手 f：C → D^o と関手 g：D^o → C があり
gf と C の恒等関手が自然同値であり、fg と D^o の恒等関手が自然同値であること。
f と g はそれぞれ双対関手と言う。
このとき (C, f, g, D^o) は随伴状況である。
0617１３２人目の素数さん
2012/02/19(日) 11:04:21.36ありがとうございます。
いまから熟読します。
0618１３２人目の素数さん
2012/02/19(日) 11:42:47.32あくまで具体例を先にたくさん学んでいて、それを彼らが抽象化したんでしょ
0619１３２人目の素数さん
2012/02/19(日) 11:52:43.79Grothendieckは具体例に疎いよ
モジュラー形式とか具体例をゴリゴリ計算するような分野には疎い
0620１３２人目の素数さん
2012/02/19(日) 13:03:54.81抽象化するのに、具体例を特別詳しく知っている必要はない。
しかし、具体例の知り方が余人と違う
0621１３２人目の素数さん
2012/02/19(日) 13:46:11.44彼の得意なことは先人の業績を圏論的に非常に一般化して先人の思いもよらない新たな発見をすること。
先人の業績を利用するという点で間接的に具体例からの寄与を受けていると言えば言えるが。
0622１３２人目の素数さん
2012/02/19(日) 17:12:19.87具体例は不要とか言ってる連中は、他人の理論を追っかけるしか能のない奴ら。
自分で理論を組み立てる能力がない連中。
その能力があれば、具体例のない無意味な理論など無数に構築できることくらい分かるからな。
0623１３２人目の素数さん
2012/02/19(日) 17:27:13.63>具体例は不要とか言ってる連中は、他人の理論を追っかけるしか能のない奴ら。
それはそのとおり
0624１３２人目の素数さん
2012/02/19(日) 17:56:11.03>具体例は不要とか言ってる連中は
その連中のレス番号は？
0625１３２人目の素数さん
2012/02/19(日) 19:45:46.270626１３２人目の素数さん
2012/02/19(日) 20:28:42.28数値計算が苦手な数学者は多いよ。
そういうのの、レベルが高いバージョンじゃないの。
0627１３２人目の素数さん
2012/02/19(日) 20:29:27.80計算が苦手な数学者と言うのはあり得なかったんだけどね
0628１３２人目の素数さん
2012/02/19(日) 21:07:42.58延々と徹底的にやる。
すると最後に非常にnon-trivialな結果が得られる（Deligne談）。
Grothendieckはこのやり方を満ち潮に喩えている。
静かな海が満ちてきて固い殻に覆われた問題を自然に解いてしまうというようなイメージ
0629１３２人目の素数さん
2012/02/19(日) 22:02:44.940630猫『も』詭弁 ◆MuKUnGPXAY
2012/02/19(日) 22:10:05.75は当たり前になってしまうという状況が（自然に）生じた場合、その構
築された枠組みにこそ素晴らしい価値があるというのは数学の進歩の過
程として非常に美しいと私は思いますね。だから最初の問題が解かれる
事よりも、その問題の正しい定式化がなされる事の方が数学の進歩に取
っては重大な意味を持つと私は考えています。
猫
0631１３２人目の素数さん
2012/02/19(日) 22:17:38.510632１３２人目の素数さん
2012/02/20(月) 20:15:24.29ここの文章全体が(628も念頭におきながら読んで）、いまの私にとってとても美しく
感動的でした。ありがとう。もし続きがあるならつまらなくてもよいので読ませてほしい。
0633１３２人目の素数さん
2012/02/21(火) 22:10:39.850634１３２人目の素数さん
2012/02/22(水) 18:32:50.03たしかに随伴ってわかりにくい。
双対と随伴の関係って、同型と準同型の関係と似てる？
0635猫は馬鹿が憎い ◆MuKUnGPXAY
2012/02/22(水) 19:25:14.90この話に関しては、何時ぞや佐藤先生も似た様なお話をなさってたとい
う記憶です。
まあ極論なのかも知れませんが、例えばFLTの役割は「その問題自身が解
かれる事」ではなくて：
★★★『ソコを通して、或いはきっかけとして数学そのものが豊かになった事』★★★
という理解をするのが妥当だと思いますね。人類が３５０年も掛けてや
って来た事は「その特定の問題を解く事」ではなくて、でも：
★★★『そういう問題群がごく自然に見える様な理論的枠組みを整備した。』★★★
という事だと私は理解しています。この問題に関係して代数のみならず、
幾何も解析も、数学のかなりの部分が有意義な刺激を受けて来た歴史と
いう事なんじゃないでしょうか。
だから「問題が解かれたという事実そのもの」よりも：
★★★『その問題がどういうルートを辿ってどういう決着の仕方をしたのか』★★★
という事の方が、その後の数学の発展の歴史には決定的な要素となる場
合が多いと私は思いますね。そのFLTの場合であっても、勿論決着した
Wilesは偉大ですが、でも：
★★★『その問題の決着に最終的に繋がる命題をきちんと定式化した３名』★★★
の貢献は数学の歴史の中では決定的だと私は考えています。
あのWeil先生のお言葉にも『良い問題は数学を正しい方向へと導く』と
いうお話がありましたね。先生はフェルマーとリーマン予想からご自分
の数学をお始めになられたそうです。流石は超一級の数学者という事な
んでしょうけど。どうやら師であるHadamardのアドバイスだそうですが。
猫
0636１３２人目の素数さん
2012/02/23(木) 00:24:41.44, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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0637１３２人目の素数さん
2012/02/24(金) 19:02:49.52「余代数とは等式系のことである」という説明を見たのですが、
代数もまた等式系のことだと思うので（ここが間違っているのでしょうが）、
代数と余代数の関係（双対性）が分からなくなりました。
最小不動点で意味が定まるか、最大不動点で意味が定まるかの違いだという
ことならなんとか分かるのですが、ここはどう理解すればよいのでしょうか？
0638１３２人目の素数さん
2012/02/24(金) 19:23:44.26見たとこで訊けよ
0639１３２人目の素数さん
2012/02/24(金) 20:15:04.80FLTが自然に見える様な枠組みなんかまだ出来てないだろ。
永久にできないかもしれない。
とにかく現時点では充分技巧的でトリッキーだろ
0640１３２人目の素数さん
2012/02/24(金) 23:34:39.22, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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0641１３２人目の素数さん
2012/02/25(土) 04:39:33.99ACのCMにある、実物大の鯨を一心不乱に描く少年みたいだな。
傍から見ると画用紙を黒く塗り潰し続けているようにしか見えない。
0642１３２人目の素数さん
2012/02/27(月) 23:32:14.32ツールとして使った結果に対してツールとして有効活用した、というのなら納得だが、
全く検討もつかない摩訶不思議にとられるということは、現時点ではツールとして
使われる見込みの薄い証左じゃん。
0643１３２人目の素数さん
2012/02/27(月) 23:54:23.63論文を書くときのツールとして重宝してます
0644１３２人目の素数さん
2012/02/28(火) 00:01:27.02ってそんな詰め碁はいいんだけど、そんな何回も同じ手をやってると
詰め碁に見えていない人にも詰め碁に見えてくるよ。
0645１３２人目の素数さん
2012/02/28(火) 07:52:52.290646ご冗談でしょう？名無しさん
2012/02/28(火) 18:52:07.97いますよ。
0647１３２人目の素数さん
2012/02/28(火) 22:03:18.04別に推進していくのは圏論じゃなくてもいいんだから。
0648１３２人目の素数さん
2012/02/28(火) 22:25:35.14人間なんだから感じることは同じなのに。
0649１３２人目の素数さん
2012/02/28(火) 23:16:45.110650１３２人目の素数さん
2012/02/29(水) 09:52:06.51何を言ってるかわからん。
すまんが補足キボン
0651１３２人目の素数さん
2012/02/29(水) 16:23:30.35具体的な名前を
0652１３２人目の素数さん
2012/02/29(水) 20:43:07.43これからのキャリアをずっと痩せ我慢して過ごすのはゾッとするので、
うまい感じに痩せ我慢するのを止めたい。
0653１３２人目の素数さん
2012/03/02(金) 03:30:25.820654１３２人目の素数さん
2012/03/02(金) 22:19:27.150655１３２人目の素数さん
2012/03/04(日) 18:04:45.26随伴＝半逆。
0656１３２人目の素数さん
2012/03/20(火) 23:35:44.83, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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2012/03/22(木) 06:06:46.76, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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0658１３２人目の素数さん
2012/03/23(金) 02:10:57.12, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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2012/03/23(金) 06:52:17.54, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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2012/03/23(金) 07:22:04.97, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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0664１３２人目の素数さん
2012/03/25(日) 23:37:48.86, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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0665１３２人目の素数さん
2012/03/31(土) 10:01:13.04調整能力、実行能力共に全くないし。一体なにやってんの？
0666１３２人目の素数さん
2012/04/01(日) 21:11:41.63そのまんま嵌るのはダメだよ。
0667１３２人目の素数さん
2012/04/01(日) 22:06:12.59何と戦ってるの？
0668１３２人目の素数さん
2012/04/01(日) 23:40:26.11一般的に有用だと思われる行為は業界内で出来る限り儀礼化させていきたいのだ。
なぜそんなことを目指すのかというと、人間概ねそういう方向性を目指すものだと思っているから。
0669１３２人目の素数さん
2012/04/01(日) 23:46:03.94冬、外に半袖で出ようとしたら危ない旨言ってあげるべきだろ。
0670１３２人目の素数さん
2012/04/04(水) 22:34:41.890671１３２人目の素数さん
2012/04/06(金) 23:16:45.260672１３２人目の素数さん
2012/04/11(水) 11:36:27.32定義からは、どんな変換も自然であると読めてしまう。
だれか自然でない変換の例を教えて下さらんか？
0673１３２人目の素数さん
2012/04/11(水) 11:46:07.490674１３２人目の素数さん
2012/04/11(水) 12:15:41.02もともと集合を使ったお遊びなんだから力を抜いて遊べばよい
0675１３２人目の素数さん
2012/04/11(水) 12:55:02.080676１３２人目の素数さん
2012/04/11(水) 18:03:56.93うん遊んでいるのだが、うまく遊べないのです。
つまり，通常、自然変換は以下のように定義される。
F,G:関手(圏C->圏D)とする。
FからGへの自然変換とは、
(1) {射t(x):Fx->Gx | x∈obj(C)} であって、
(2) 可換図式（省略）を満たすもの
ここで，F,Gが関手であることと(1)とから、(2)は導出されるのではないか、
と思うんだが、どこで間違っているのか分らんのです〜〜〜
0677１３２人目の素数さん
2012/04/11(水) 18:53:36.91人生マンコが必要だ
くじけりゃマラがが先に行く
あとから来たのにぬかされ
包茎がいやならさあ剥け
0678１３２人目の素数さん
2012/04/11(水) 20:48:39.130679１３２人目の素数さん
2012/04/12(木) 02:55:49.17ワーキングマセマティシャンに反例載ってるじゃん
0680１３２人目の素数さん
2012/04/12(木) 08:54:27.940681１３２人目の素数さん
2012/04/12(木) 10:21:14.21ありがとう。
ワーキングマセマティシャンは押入れのずっと奥なので、
いまWikiで見ると、以下のような記述があった。
F, G が圏 C と D の間の（共変）関手であるとき、 F から G への
自然変換は、C に含まれる全ての対象 x に対し D の射
ηx: F(x) → G(x) を与える。
このとき、 C の任意の射 f: x → y に対し、
ηy ○ F(f) = G(f) ○ ηxが成り立つ。
ということは、>>676に書いた自然変換の定義は、
(1) such that (2)、ということではなく、
(1) したがって (2)、という意味だったのかな？
しかし、wiki以外は、やはり、(1) such that (2) と読めるがなあ
0682１３２人目の素数さん
2012/04/12(木) 13:21:15.643倍関手と5倍関手との間には自然変換は存在しない。
これでいいのかな？
0683１３２人目の素数さん
2012/04/12(木) 16:49:38.15, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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0684１３２人目の素数さん
2012/04/12(木) 18:41:26.950685１３２人目の素数さん
2012/04/12(木) 22:29:25.16圏Cの任意の対象xについて、自然変換のコンポーネントηxは圏Cの任意の射f:x->y
について、自然性G(f)・ηx = ηy・F(f)が成り立つ、だ。
0686１３２人目の素数さん
2012/04/12(木) 22:31:14.45だった。
0687１３２人目の素数さん
2012/04/12(木) 22:50:30.010688１３２人目の素数さん
2012/04/13(金) 00:23:39.40ということは、
(1) 自然変換とは、{ 射ηx: Fx->Gx | x∈obj(C) } のことである。
この(1)から、
(2) 圏Cの任意の射f:x->yについて、G(f)・ηx = ηy・F(f)
は導出されるのであって，自然変換の定義は、(1)かつ(2)なのではない、
という理解でいい？
0689１３２人目の素数さん
2012/04/13(金) 00:30:17.230690１３２人目の素数さん
2012/04/13(金) 06:39:02.44導出されん。導出云々は単に最初から自然変換とわかっているものを適用したら
各対象において自然になるのは当たり前なので、導出できると思っているんじゃないか。
定義なんだから、自然変換とは〜である、という形式でsuch that以下は割り当てられる射の条件だ。
0691１３２人目の素数さん
2012/04/13(金) 08:48:46.26違うな。ゼロ倍射を使えば自然変換になる。
0692１３２人目の素数さん
2012/04/13(金) 10:37:18.49F,Gが関手であるということは，
(1) ∀f,x,y [ f: x->y ならば { Ff: Fx->Fy かつ Gf: Gx->Gy } ] 。
ηがFからGへの変換であるということは
(2) ∀x [ ηx: Fx->Gx ] 。
ηがFからGへの自然変換であるということは
(2) かつ (3) ∀f,x,y [ Gf*ηx = ηy*Ff ]。
こう定式化すれば、
(1)と(2)から出るのは
(4) Gf*ηx: Fx->Gy かつ
ηy*Ff: Fx->Gy
までであって、(3)は出てこないというのはわかるね。
0694１３２人目の素数さん
2012/04/13(金) 20:19:55.93すべての射の合成を入れ替えるというのが双対の定義だったと思うが、
反変函手の圏同値が成り立つ圏同士を双対関係としてんの？
0695１３２人目の素数さん
2012/04/13(金) 22:13:18.51双対の定義は射の向きを反転させるんだよね。だから合成も入れ替わるが。
ストーン双対性を論理式とモデルの増減関係みたいに説明している所はなんだかな？
0696１３２人目の素数さん
2012/04/13(金) 22:28:09.10ていうか、そもそもストーン双対性って何のこと指してんの？
0697１３２人目の素数さん
2012/04/13(金) 22:46:48.76>図式で云々かんぬんというのは離れるべき
これは何を言ってるの？
0698１３２人目の素数さん
2012/04/13(金) 23:04:47.35わかったわけではないことが多々あった。なので、図式に由来した（図式の操作を
根拠としたような）説明はあてにしないほうがいいということを言ってる。
0699１３２人目の素数さん
2012/04/13(金) 23:22:29.490700１３２人目の素数さん
2012/04/13(金) 23:31:27.850701１３２人目の素数さん
2012/04/13(金) 23:33:17.97定義が結びつけへんのや。
0702１３２人目の素数さん
2012/04/13(金) 23:34:54.98図式が？
0703１３２人目の素数さん
2012/04/13(金) 23:40:14.040704１３２人目の素数さん
2012/04/13(金) 23:41:19.61理解するにあたって必要な情報を与えていないのに、与えている気になっていたら
どうやっても理解できないか、あさっての方向に誤解するだろ。
0705１３２人目の素数さん
2012/04/13(金) 23:45:28.79図式は補助だって。
0706１３２人目の素数さん
2012/04/13(金) 23:48:27.45だが通常は、図式は参考図として使われていて、本文は１次元のテキストで
きちんとかかれているだろ？
0707１３２人目の素数さん
2012/04/13(金) 23:49:56.010708１３２人目の素数さん
2012/04/13(金) 23:51:12.92そうそう。でもメインが図式にあると思い込んでいたらその大事な部分は読まない。
0709１３２人目の素数さん
2012/04/13(金) 23:53:25.280710１３２人目の素数さん
2012/04/13(金) 23:53:30.010711１３２人目の素数さん
2012/04/13(金) 23:56:52.460712１３２人目の素数さん
2012/04/13(金) 23:58:32.20ははは。そうだよな。
0713１３２人目の素数さん
2012/04/14(土) 00:06:01.54説明にあたっての例としてつかえるぐらい？
0714１３２人目の素数さん
2012/04/14(土) 00:14:34.79ちゃんと内容があって一般にわかりうることを説明するべき。
0715１３２人目の素数さん
2012/04/14(土) 00:20:36.810716１３２人目の素数さん
2012/04/14(土) 00:25:21.930717１３２人目の素数さん
2012/04/15(日) 16:29:06.310718１３２人目の素数さん
2012/04/15(日) 20:24:19.53http://killingbuddha.altervista.org/FILOSOFIA/GToNe.pdf
のp.238
その立場をとると、埋込函手の定義でたまに出てくる
対象に対して単射的という条件が要らなくなる。
0719１３２人目の素数さん
2012/04/15(日) 20:25:45.78本質というのがどういう意味かわからんが、まあそう言いたければ、前段は
自明だし、後段は教科書の冒頭に出てくる常識だ。
0720１３２人目の素数さん
2012/04/15(日) 20:31:58.290721１３２人目の素数さん
2012/04/15(日) 20:52:11.250722１３２人目の素数さん
2012/04/20(金) 00:28:04.11定理の証明はテキストでやるが、証明の見通しや定理の発見は図式でやるんだ。
テキストでは追いにくい証明が図式では自明という経験をしてきただろう。あれだ。
0723１３２人目の素数さん
2012/04/20(金) 01:17:05.33, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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0724１３２人目の素数さん
2012/04/23(月) 18:56:34.800725１３２人目の素数さん
2012/04/23(月) 19:41:41.54, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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0726１３２人目の素数さん
2012/04/23(月) 21:11:08.44自然性を満たすように定めないといけない。
けれども、米田の補題を使うと、普遍要素を定めりゃ考えている対象について
全部一気に決まる。
0727１３２人目の素数さん
2012/04/23(月) 21:30:45.42米田の補題を使うと、じゃなくて
米田の補題が使えるケースであれば、で。
0728１３２人目の素数さん
2012/04/23(月) 21:58:15.140729１３２人目の素数さん
2012/04/23(月) 22:19:43.900730１３２人目の素数さん
2012/04/23(月) 22:24:19.71普遍要素から自然変換が完全に定まるというのが米田の補題。
0731１３２人目の素数さん
2012/04/23(月) 22:41:29.130732１３２人目の素数さん
2012/04/23(月) 22:58:26.530733１３２人目の素数さん
2012/04/24(火) 07:36:44.29, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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0734１３２人目の素数さん
2012/04/24(火) 21:08:25.19１）どんな圏も集合圏に翻訳できる（この翻訳がhom関手）
２）それら翻訳の間には、自然な変換が唯一構成できる
と要約してよいでしょうか？
0735１３２人目の素数さん
2012/04/24(火) 21:39:54.200736１３２人目の素数さん
2012/04/24(火) 22:02:54.31ということは、間違っていますか？
でも、要所でこの種の要約が付いていると理解の助けになるのですが、
ふつう徹頭徹尾数式の羅列なので．．．
0737１３２人目の素数さん
2012/04/24(火) 22:11:50.72それは完全にダメ。要約するってことは論点を判断するってことだぞ。
0738１３２人目の素数さん
2012/04/24(火) 22:21:48.01http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.bams/1183526392
0739１３２人目の素数さん
2012/04/24(火) 22:37:57.220740１３２人目の素数さん
2012/04/24(火) 22:38:33.90, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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0741１３２人目の素数さん
2012/04/25(水) 08:03:43.11>自然変換って額面通り取ると対象の多い圏だと定義不可能。
不可能➝困難？
>普遍要素を定めりゃ
これは集合圏であることから直ちに派生することなのでは？
>>737
>要約するってことは論点を判断するってことだぞ。
要約は、広い文脈の中での位置づけも分かるものでないといけない。
hom関手どうのこうのという表現では内輪でしかわからない。
0742１３２人目の素数さん
2012/04/25(水) 08:25:22.10, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
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0743１３２人目の素数さん
2012/04/25(水) 08:26:45.21論理や数式を丁寧にフォローすることを億劫がってはいけない。
0744１３２人目の素数さん
2012/04/25(水) 21:47:12.36内輪野郎とはひどい侮辱だな。意味がわからない可能性があったから、
途中でhom関手わかるか聞いたんじゃねぇか。結局そこからわからんのだからわからんの。
１自然変換について
１００個対象あったら自然変換のコンポーネントを１００個定めないといといけない。
そんなの実質不可能だろという意図なので困難で妥当。
２普遍要素について
集合圏から直ちに派生するという意味がわからない。詳細を述べなくては意味不明。
というか、明らかに普遍要素の定義を知らないと思うので調べるべき。
３要約云々
補題の要約であれば、普遍要素から自然変換が完全に定まる。
広い文脈での位置づけについては、根拠文書込みでぜひ教えて欲しいもんだ。
４hom関手について
圏Cの射でドメインがA、余ドメインがBの射の集まりをhom(A,B)と書く。
任意のA,Bに対して、hom(A,B)が集合になる場合、対象Xを固定して、
Ｃの各対象をとる関数hom(X,-)は圏Ｃから圏Setsへの関手の対象関数とみなせる。
射については、f:A → Bとするとき、hom(X,f) : hom(X,A) → hom(X,B)と定めることにして、
そのような関手を共変hom関手、hom(-,X)だったら反変hom関手というが、それことを言っとる。
0745１３２人目の素数さん
2012/04/25(水) 21:48:24.110746ご冗談でしょう？名無しさん
2012/04/25(水) 22:22:59.70理解してない奴よりはよか
0747１３２人目の素数さん
2012/04/26(木) 13:31:51.40>>744
>普遍要素
F: C → Sets、F(A)：Cの対象 A に対応するSets内の対象つまり集合、
としたときの、F(A)の要素という理解です。
普遍要素から自然変換が完全に定まるというのは、説明すれば中学生でも
すぐに分ることにみえるので、それがなになの？と尾もてしまのです．
>hom関手について
ここに書かれているのはどの教科書にもある説明なのでそれ自体は読めるのですが、
hom関手って何？と要約しないと、分ったことにならないのではないでしょうか？
>>743
>論理や数式を丁寧にフォローすることを億劫がってはいけない。
これはよく言われることで一見正論に聞こえますが、フォローするだけなら
むつかしいことではないし、つまらないと思います。
どこかに書いてある数式の羅列をそのまま読んでもらってもやっぱりつまらない
んですよね。
0748１３２人目の素数さん
2012/04/26(木) 14:06:08.09ほんとの有り難みはいろいろな応用例を知らないと
分からない。今の段階で無理して有り難みを知る必要はない。
0749１３２人目の素数さん
2012/04/26(木) 14:07:59.50普遍要素って分ってんのか、hom関手って分ってんのか、という指摘ですが、
普遍要素もhom関手も説明過程で現れる作業上の単なる用語であって、
それを理解しているかどうかにこだわるほどの大きな概念じゃないと思ってます。
0750１３２人目の素数さん
2012/04/26(木) 14:14:30.14大きな概念というより非常に重要な概念。
そう思わないのは圏論をよく知らないから。
0751１３２人目の素数さん
2012/04/26(木) 14:48:14.52「>>743
>論理や数式を丁寧にフォローすることを億劫がってはいけない。
これはよく言われることで一見正論に聞こえますが、フォローするだけなら
むつかしいことではないし、つまらないと思います。
どこかに書いてある数式の羅列をそのまま読んでもらってもやっぱりつまらない
んですよね。」
『まずは』丁寧にフォローする、ということ。
つまらないとか面白いとかのレベルじゃなくて、それをしないと始まらない。
むつかしいことではないならやればいい。
0752１３２人目の素数さん
2012/04/26(木) 15:55:30.41>それをしないと始まらない
？？いちいち教わらなくても自分で分かる（再発見する）ということも多いでしょう？
>むつかしいことではないならやればいい。
？？なんか精神論的な学問観に聞こえます。
ご自分の言葉で（MacLane等に頼むのではなく）例えば「米田の補題とは！」
というのを開陳していただけるとうれしいのですが。
0753１３２人目の素数さん
2012/04/26(木) 16:06:06.92生意気言うな
0754１３２人目の素数さん
2012/04/26(木) 18:39:33.10あなたに真面目に答えようとした私が悪かった。
死ね、愚か者。
0755１３２人目の素数さん
2012/04/26(木) 21:02:07.63ふんふん。ちゃんとわかって言ってた（？）のな。
１普遍要素から自然変換が完全に定まるというのがしょぼいことについて
だから補題扱いなんじゃない？
あと、普遍要素の理解は正しいので大丈夫だと思うが、普遍要素＜A,u>が与えられたとき、
自然変換 θ：hom(A,-) -> F
の各対象Bにおけるコンポーネント θB の具体的表示はどのように書ける？
圏Cはlocally smallとする。
２hom関手がよくわからんということについて
A -> A型の射が1A, a, bとあったら{1A,a,b}=hom(A,A)という集合は、
Setsの対象hom(A,A)はAそのものではないものの射を列挙していることでAを表している。
んで、わからんのはなんで表していることになるのか、というところか？
３個別のしょうもない用語なんかどうでもいいから補題の要約を教えろの件について
例えば、琴線を触れさせるためだけのインチキ用語として”ガロアン複雑なんとか対象”という
用語を導入することにして、これは大した概念ではないので説明するまでもないことにする。
んで、俺マックレーンを凌駕したということで、
米田の補題は「自然変換の具体的構成が与えられる機構の背景にガロアン複雑なんとか対象が
本質的な役割を演じていることを暗示している」と主張しようもんなら、
傍から見たら単なるイタイ人じゃん。
0756１３２人目の素数さん
2012/04/26(木) 21:12:30.71なぜなのか、ということを考えたことがあるけど、論文や本に書くにあたって
突っ込まれやすい肝心なアイディアを抜いて意味不明になっているからだと思う。
ただ、わかっていて抜いているのはまだマシ。
0757１３２人目の素数さん
2012/04/26(木) 21:15:59.52アイディアを抜いてしまっているので本を読むだけでは意味不明に、で。
0758あのｺｳﾁｬﾝは恥垢体だった。
2012/04/26(木) 21:44:32.92アレを抜いてしまっているので好色本を読むだけでは意味不明に、で。
0759１３２人目の素数さん
2012/04/26(木) 21:53:31.78数学者でも考え違いしてるやつが多いが
命題の価値は証明の難しさに比例するわけではない。
0760１３２人目の素数さん
2012/04/26(木) 22:26:48.21この圏は集合という具体的な対象を扱っているので
もとの圏より扱いやすい場合が多い。
これは群の表現論が群論で重要なのと似ている。
0761１３２人目の素数さん
2012/04/26(木) 22:32:49.13あと、理解してないから説明できないんだが、たしか米田埋込が便利なのは
完備じゃない圏を完備な圏に埋め込めるというのが便利だったはず。
0762１３２人目の素数さん
2012/04/26(木) 22:36:50.91関手圏の対象が集合なんてアホなことを誰が言ってる？
0763１３２人目の素数さん
2012/04/26(木) 22:42:50.530764１３２人目の素数さん
2012/04/26(木) 23:09:22.71この概念は米田の補題に依存してる。
とにかく圏論の基礎的な概念はほとんど
全て米田の補題と密接に関係してる。
米田の補題というより表現可能関手という
概念が本質的。この二つはほとんど同じものだが。
0765１３２人目の素数さん
2012/04/26(木) 23:11:43.53うんこちんこまんこ
と俺には読めたんで
0766１３２人目の素数さん
2012/04/26(木) 23:15:56.03これでプルバックにせよ極限にせよ
随伴関数にせよ全部説明つく。
0767１３２人目の素数さん
2012/04/26(木) 23:18:35.770768１３２人目の素数さん
2012/04/27(金) 01:14:29.03圏の表現を意味してるのかな？
0769１３２人目の素数さん
2012/04/27(金) 01:31:12.83, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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0770１３２人目の素数さん
2012/04/28(土) 13:24:57.66米田の補題と不完全性定理は、学習難度はどちらが高いだろうか
0771１３２人目の素数さん
2012/04/28(土) 14:40:16.68, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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0772１３２人目の素数さん
2012/04/28(土) 22:45:36.03というところだろう。常識的な答えでスマンが。
ところで、このスレでの米田の補題の証明の説明は、用語をはじめとして、
皆さん一寸難しく言い過ぎじゃないかな。黒板が使えれば、簡単な図と説明で
容易に分かる程度のことだ。
ただ、補題の意義の納得には、だれか言ったように少し時間が必要だろうね。
0773１３２人目の素数さん
2012/04/28(土) 22:51:12.25数学では、本当に分かる奴は、こんな言葉は知らなくても分かる。
0774１３２人目の素数さん
2012/04/28(土) 23:02:46.09, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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0775１３２人目の素数さん
2012/04/28(土) 23:15:06.89数学用語自体に難しいも簡単もない。
その用語の意味を理解するのに難易の差があるだけ。
用語は意思疎通に必要だから使うなとか言うほうがおかしい。
0777１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 08:02:09.17, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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0778１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 09:46:52.54もちろん用語を使うなと言っているのではない。
しかし、数学においては、あの記述感覚や操作感覚が数学の実体であって、
用語は単に伝達の便のための指示代名詞に過ぎない、という意味だった。
こういう意識をもっておくことは、特に初学者を指導するときに大事だという
のがオレの経験知。
0779１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 10:32:48.63米田の補題の証明が難しいという学生はそもそも数学に向いてない。
または数学の証明というものに慣れてないか。
論理的な考えに慣れてないか。
とにかく圏論やるのは10年早い。
0780１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 11:18:05.30, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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0781１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 11:21:35.32圏論の基礎を理解することとほぼ同じ。
0782１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 11:30:56.43ちょっと厳し過ぎないか？数学科離れが進むのも分かる。
もうちょっと、ふつうの人に近寄ったほうがいい、と思うが。
0783１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 11:39:26.85米田の補題の証明はトリビアルの範疇。
本に書いてある証明を追わずに簡単に自力で
出来る。なんの知的努力もいらない。
いわゆるルーチン。
0784１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 11:46:18.17じゅあ聞くけど、普通の学生にとって米田の補題の証明のどこが難しい？
0785１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 11:54:46.26どういう証明になってちるのかよくわからないところ。
0786１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 12:01:10.43自分で証明しようとしないから分からなく。
他人の証明は他人の考えだから本来分かりにくい。
0787１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 12:04:16.190788１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 12:05:41.23埋め込みとごっちゃになってる場合とか。そんなんわかるわけないじゃん。
0789１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 12:10:05.32可換図式は分かりやすくするために書いてある。
それが嫌だったら無くてもいい。
要するに2種類の射の合成が一致することを証明するだけなんだから。
小学校の算数と同じレベル。
0790１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 12:15:54.18それは用語の定義が分かってないから。
関手とか自然変換の定義分かってる？
0791１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 12:15:54.610792１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 12:26:22.64圏の射を異なる圏の射に割り当てる射関数の組みのこと
自然変換は、関手をF、G：C → D とすると、
Cの各対象に対してDの射を割り当てる対応θのことで、
各射ｆ：A->Bに対して自然性条件 θB・F(f) = G(f)・θAをみたすもの
0793１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 12:30:14.550794１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 12:42:41.610795１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 12:43:47.32それだけ分かっていて米田の補題が何言ってるか分からないのは何故？
0796１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 12:44:50.89, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
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0797１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 12:45:05.910798１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 12:47:20.72もし本当なら意外だな。
こいつは面白い。
0800１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 12:51:52.83証明でーす、ってやられりゃ難しく感じる。
0801795
2012/04/29(日) 12:56:09.96誰の本を読んでるか知らないが米田の補題の証明は
誇張も何もなくトリビアル。
普通の学生が自力で簡単に証明出来る。
0802１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 13:00:19.80確かに自然変換ちゃんとわかってれば簡単。
変な本だとやたら難しく意味不明な図で解説されるのが我慢ならん。
0803１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 13:01:28.76>Cの各対象に対してDの射を割り当てる対応θのことで、
ここ間違ってない？
0804１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 13:03:55.580805１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 13:04:45.330806795
2012/04/29(日) 13:05:48.47その変な本って著者名と題名は？
0807１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 13:09:30.830808１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 13:13:41.540809１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 13:29:23.75つまり、u ∈ F(A)とすれば、自然変換 θ ∈ Nat(hom(A,-),F) はuから完全に決まる。
このとき、各対象Bにおける自然変換θのコンポーネントθBの具体的表示はどのように書ける？
ただし、あたってもなにもあげない。
0810１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 13:37:35.10変換θとは、θ={θ(A)|A ∈|C|}なる集合（類）であり、
θ(A)は、θ(A):F(A)->G(A) なる射だ。
対応という言葉を使うなら、変換θはあくまで、関手から関手への対応であり、
変換のコンポネントθ(A)は、対象F(A)から対象G(A)への対応だ。
0811795
2012/04/29(日) 13:40:56.69そうすれば自然変換のイメージが掴める。
0812１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 13:50:39.73一瞬まずったかと思ったけど違うよ。対応という言葉が悪ければ、関数でいいよ。
θ={θ(A)|A ∈|C|}
これだと任意の対象に対してコンポーネントが割り当てられることになる。
小さな圏ならともかく大きな圏では定義としておかしい。
0813１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 13:51:35.71横からおじゃまします。ふつうの学生です。
自然変換の具体例を出来るだけ多く教えてください。
0814795
2012/04/29(日) 13:56:40.46俺は問題出題者だよ。
解答するのはあんた達。
0815１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 13:58:48.56各対象についてコンポーネントへの割り当てを行う関数が自然変換だから
対応とか関数という言葉をつかっている。
0816１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 14:13:37.64問題の出題じゃなくて、自然変換のイメージを掴む方法の助言でしたよね？
0817795
2012/04/29(日) 14:21:43.40だから自力で例を探すのがイメージを掴むのにいい。
演習問題というのは理解を深めるためにある。
0818795
2012/04/29(日) 14:34:07.94あとポントリャーギン双対もこの例と並んでよく挙げられる。
あと群のアーベル化に関する奴もよく例に挙げられ。
0819795
2012/04/29(日) 14:37:26.160820１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 14:41:50.00, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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0821795
2012/04/29(日) 14:45:17.94このときこの関手間の自然変換は何だ？
0822１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 14:45:53.660823795
2012/04/29(日) 14:47:06.43このときこの関手間の自然変換は何？
0824１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 14:53:14.320825795
2012/04/29(日) 14:53:56.41このときこの前層の間の自然変換は何？
0826１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 15:42:58.940827１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 15:45:12.52参考までに教えてほしいが、最近、 Ann.of Math って圏論のトピック載ってる？
最近、圏論の論文は物理系の論文誌ばっかりヒットするのだが
0828１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 20:53:34.25intertwiner（繁絡）だったか。繁絡はよく知らない。
ほかもわからん。
>>809の答えは
θB(a) = F(a)u ただし、a ∈ hom(A,B)
これがθB：hom(A,B) -> F(B)の具体的表示で米田の補題の結果。
0829１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 20:55:32.260830１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 20:58:52.620831１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 21:17:27.890832１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 21:48:22.91案外ｗおもしろい人だった。もっと居てくれ。
0833１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 22:07:08.070834１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 22:35:32.16自然変換 θ ∈ Nat(hom(A,-),F)、u ∈ F(A)とする。
hom(A,A)={1,g,h}、hom(A,B)=Φのとき、自然変換θのコンポーネントθAと
θBの具体的表示はそれぞれどのように書ける？
0835１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 22:46:41.11θA(a) = F(a)u, ただし a ∈ hom(A,A)
θBについては自信ない。
f ∈ hom(A,B)となるfが存在しないので、θBについては定義されない、かな。
0836１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 22:47:58.720837１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 22:56:55.22つまり、元の圏には、A->Aの射として、1,g,hがあるという条件。aはない。
書き方がおかしい？
0838１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 22:58:27.48θA(1A) = F(1A)u = 1F(A)u = u で、
θA(1A) = uとわかる。
1F(A)はわかりにくいけど、F(A)の恒等射な。
0839１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 22:59:41.190840１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 23:00:56.280841１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 23:01:35.050842１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 23:04:10.21ドメインがAの射のことなので、任意のf ∈ hom(A,B)に対して
f = f・1A
とできる。普遍要素uというのはこの分解した時の1Aの変換したもののことだ。
0843１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 23:11:35.29hom(A,A) = {1A , g, h} = {1A, g・1A, h・1A }
↓θB
F(A) = { u, F(g)u, F(h)u }
となる。
θBというのは、（分解した）各射について
１ １Aをuに変換
２ gやhに関手の射関数を適用
するということだ。
0844１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 23:11:49.92hom(A,B)=Φだが，hom(C,B)={f}で、しかし，hom(A,C)=Φのときは？
0845１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 23:14:35.59F(A)の具体的にどれなのかということだけだ。
つまり”普遍要素さえきまれば自然変換が完全に定まる”＝＞米田の補題
Nat(hom(A,-),F) と F(A)の間に全単射が存在する、となるわけだ。
0846１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 23:16:41.88hom(C,B)はこの場合の対象じゃない。
0847１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 23:19:27.78, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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0848１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 23:20:52.20F(A) ⊃ {u,F(g)u,F(h)u} かな？
>>842
それはそうだ。
>>843
射gg，gh. hg, hh, ...はどうなる？
0849１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 23:22:30.59θBのところはθAな。
0850１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 23:26:30.98１ F(A) ⊃ {u,F(g)u,F(h)u} かどうか
Fは表現可能関手になる気がするもんで＝にしたんだが、証明がわからん。
３ gg,gh,hg,hhの場合
どれもそもそもhom(A,A)の要素になるので同じ。
0851１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 23:33:49.83逆向きのNat(F,hom(A,-)に関する定理があればもっといいんだが。
0852１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 23:34:14.85３ ということは、少なくとも、F(A) ⊃ {u,F(g)u,F(h)u,F(g)F(g)u,F(g)F(h)u,...}
だね？
１ Fは任意の関手C->Dなんじゃないの？
0853１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 23:39:00.35ここ分かってないんだ。
じゃー、元の圏にある対象CやC->Bの射はどう表現されるの？
ほったらかし？
0854１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 23:40:25.67成り立たないといけないので、それはどちらかというとhom(A,A)の要素とは？という問題だということ。
１ うーん。そうなんだが、普遍要素があるので、表現を構成できるはず（ここはわからん）なんだ。
そうなれば表現可能関手でhom(A,-)とFは自然同型になるだろう、と。
0855１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 23:42:41.04確かにそこの詰めは甘いんだ。しばし待て。
0856１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 23:47:40.67３ 巡回群みたくなる必要ある？
F(A)は無限集合でもよいし、{u,F(g)u,F(h)u,F(g)F(g)u,F(g)F(h)u,...}
の方が実は巡回群的かもしれないし。
0857１３２人目の素数さん
2012/04/29(日) 23:49:48.39大変すまんが、明日があるんで今日はここで失礼する。
今日は相手してくれてありがとう。
0858１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 00:02:17.63確かにそのとおりだ。無限集合でもいいな。
俺も明日以降にするわ。
0859１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 07:14:51.81難しく考えすぎだろ。
0860１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 08:19:15.46要は対象として空集合が絡んでくるとき。
上の場合は、hom(A,f) : hom(A,B) -> hom(A,C)は空集合から空集合への射で
空集合はSetsの始対象なので、どのようなhom(B,C)の要素でも空集合の恒等射になる、だな。
0861１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 08:29:16.34θB＝θCも空集合の恒等射か。
0862１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 08:31:02.25, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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0863１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 08:44:29.69お前らの問題点が分かった。
集合論の基礎がよく分かってない。
集合とクラスの違いも分からないみたいだし、
族と集合の違いも分からないみたいだからな。
例えば数列は集合じゃない。
0864１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 08:55:49.040865１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 09:00:38.84そういうことを言ってるんじゃなくて
数列とその値域は違うという意味。
空気読め。
0866１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 09:05:18.82完璧に誤解の無いように言わないと>>864のように
突っ込まれるなw
0867１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 09:07:37.12, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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0869１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 09:39:29.29>集合とクラスの違い
>数列とその値域は違う
そういうのは分かってる。それでどうした。本題に入ってくれ。
hom(B,C) = {f} のようにAから隔絶した射はどう処置されるんだ？
空集合の恒等射になっちまうなら、fらしさは無視されてしまう気がするんだが。
0870１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 09:50:47.13なんで？
論理的に説明しろ
0871１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 10:02:16.12分かってたら>>810が間違いとわかるはず。
因みに f らしさってなんだよ。
空集合になんでこだわる?
要素がないんだからそれを定義域とする写像は意味ない。
だから深く考える必要ない。
0872１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 10:05:54.20１ Aから隔絶した射について
hom(A,B)とhom(A,C)が空集合ではない場合ということだな。
その場合は、hom(A,B)の要素との合成を考えて、hom(A,C)について考えることにして処理する。
つまり、
g ∈ hom(A,B)として、 fについてhom(A,f) : hom(A,B) -> hom(A,C)となるので、
hom(A,f)g ∈ hom(A,C)
といえる。このhom(A,f)gという要素にfが反映される。
0873１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 10:06:50.51空気読まないと数学の論文は読めない。
0874１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 10:09:09.07あと、クラスと集合の違いをわかっていないというのはそのとおりだが、
自然変換は関数というか割り当てであることは間違いない。
わからんのはクラスの全要素なんて扱えるのか？というところで教えてくれ。
0875１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 10:14:05.02数学的常識を著者は暗黙に仮定している。
だからそれを補って読まないといけない。
0876１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 10:14:19.240877１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 10:19:16.14空集合が定義域にならないとは言ってない。
深く考える必要ないといってる。
0878１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 10:19:52.11うん。それは分かる（直接的でないのがちょっと嫌だが）。
やっぱり、hom(A,B) = Φ、hom(A,C) = Φでhom(B,C) = {f} の場合がわからん。
>>860の答えでは、fの存在が反映されないと思うんだ。それでよいのか？
0879１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 10:21:00.020880１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 10:23:17.36やっぱり分かってないんじゃんw
空集合で悩んでるのも集合論をよく分かってないから。
0881１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 10:24:26.900882１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 10:25:37.15もちろんそうだが、その暗黙の仮定のところで質問がでたら明示的に
答えるのが常識だろう。（この場であんたにその義務があるとは言わんが）
0883１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 10:32:42.40１自然変換の定義の問題
クラスを添数集合としてとれるのか？添数集合としてとれるなら自然変換は射の族でもおｋ。
２米田の補題の問題
Aから隔絶した射なり対象で漏れている部分があるかないか。
0884１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 10:33:00.95>クラスの全要素なんて扱えるのか
扱うって何のことを言ってる？
あんたならこんなこと知ってると思うが、単純に言って、
集合もクラスも、ものの「集まり」。
集合は、矛盾を引き起こさないように制限された集まり
クラスは、なんでもかんでも入れられるので、矛盾を引き起こす可能性のあるものの集まり
だよね。
0886１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 10:38:36.75クラスに内包とかあるのか？
0887１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 10:40:51.34集合論というか始対象となることで結論出してるからわかってないといわれりゃそうかもしれん。
ていうか、だったら教えてくれよ。
0888１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 10:45:17.06なぜ空集合は始対象？
写像の定義を理解してれば分かる。
0889１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 10:47:59.84使えないと自然変換は定義出来ない。
0890１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 10:48:39.21>クラスCに対して∀a ∈ Cが使えるか
ふつうに使えるよ。
集合とクラスは、
t：集合、P(a):論理式 としたとき、
s = { a∈t | P(a) } は集合
s = { a | P(a) } (∈tという抑えがない）がクラス
というだけの違いだよね（正確には田中尚夫など）
>クラスに内包とかあるのか
内包ってここのP(a)のことかな？
0891１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 10:53:31.33空集合が始対象になるのは恥ずかしながら覚えていただけですぐ出てこない。いつか。
0892１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 10:55:57.65できないと困るからできる、という論法かｗ
ちゃんと答えてやれよ
0893１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 10:59:59.11いつかじゃねえよw
集合論では写像はグラフで定義される。
つまり直積集合のある種の部分集合。
定義域が空集合だとこの直積集合は空集合だ。
0894１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 11:02:44.44俺はここで集合論の講義をするつもりはない。
あんたが代わりに答えてやれ。
0895１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 11:09:36.91それから圏論の前に群、環、体とか位相幾何の初歩とか
やっておくべき。
0896１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 11:24:07.69機械的手順を言ったものなのか？
0897１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 11:32:31.81空集合は全ての集合に含まれるってだけの事を勿体ぶってどうする？
0898１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 11:43:19.01誰に言ってる？
0899１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 11:50:09.14米田レンマの本質的意味って何ですか？
0900１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 11:51:41.15まず包含写像が存在すること
次に包含写像以外の写像が存在しないことを証明してくれ。
0901１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 11:59:40.58それは高次元トポスとGrothefieckのモチーフ理論を
結び付ける触媒であること。
0902１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 12:17:07.32高次元トポスって何ですか？
詳しい文献あれば教えてください。
0903１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 12:20:24.92, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
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0904１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 12:31:29.99高次元圏にも米田のレンマってあるんですか？
0905１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 13:24:46.43>集合の圏での射は包含関係を含んでるだろ？
どういう意味だ？
0906１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 13:29:17.48きみの言うことはつまらん。
>>901
きみの言うことは難しいよ。
>>904
圏なんだから、あるに決まっとる。
0907１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 13:55:52.18高次元トポスとモチーフってどう結びつくんですか？
0908１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 14:02:46.95つまらなくても早いのが遅くはならない。
難しいと冗談にマジレスされてもw
口からでまかせにの無意味な戯言なんだが。
だからそれを集合論で証明してみろ。
0909１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 14:34:42.82米田の補題。
やりたいのは、一般の圏を集合圏にそのまま写すこと。
それは、対象を集合に、射を写像に写せばすぐできそうだが、そうはいかない。
異なる射を区別できるように各集合の要素をどうとるかが考えどころ。しかし
それは難しくない。機械的手順がある。これがエッセンス。
0910１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 14:40:49.49アーベル群のカテゴリーに埋め込めるみたいな話？
0911１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 15:17:11.95本質的ってどういうことを求めてる？
0912１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 15:26:34.28表現論的な意味とかあるのかなと思いまして
0913１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 15:33:14.08, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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0914１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 16:15:21.83集合圏じゃなくて集合圏に値を取る関手のなす圏。
0915１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 16:18:28.96圏の埋め込みだからそれは一種の表現だろ。
それ以上の意味はない。
0916１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 16:36:30.47埋め込みを何回も繰り返すってことはできますか？
0917１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 17:28:40.87, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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0918１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 18:10:38.81元の圏を固定して考えれば（ふつうそうするだろう）両者は同一視できる。
そして集合圏で考えた方が分かり易い。そもそもそのために集合圏に写すのだから。
こういうことも形式的な定義を大人しくフォローするだけでは分からんだろう。
0919１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 18:32:59.30両者って何と何？
0920１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 18:45:57.92, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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0921１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 18:47:32.57, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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0922１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 19:06:50.21集合圏と、集合圏に値を取る関手
0923１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 19:10:25.02はあ？
どうやって同一視する？
両者は圏同値じゃない
0924１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 19:20:36.10, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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0925１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 20:18:22.65言い直す。>>909では、関手K:C->Sets を「一般の圏を集合圏に写す」と
言ったのだが、これはおかしいか？
0926１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 20:23:49.73おお、なるほど。集合論だと空集合をドメインとする射は恒等射のただ一つだけか。
でもやっぱ本格的にはいつかだわ。一日にいくつも難しいこと処理できるほど処理能力高くないので。
わかんないときは、学習するんじゃなくて、個人的にはとりあえず睡眠時間取るといいぞ。
0927１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 20:25:58.09, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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0928１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 20:28:53.27おかしい。
米田の埋め込み定理は C^o -> Nat(C, Sets)
ここで C^o は双対圏
0929１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 20:33:13.07C^o -> Func(C, Sets)
0930１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 20:36:21.580931１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 21:02:40.18= C^o -> (C -> Sets)
= (C^o × C) -> Sets
0932１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 21:03:33.76集合じゃなく圏
0933１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 21:06:45.27いわゆる関手圏ですね。
>>931
なんか内積に似てない？
0934１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 21:14:27.95それは2変数の関手としてのHomじゃん。
米田の埋め込み定理はそれとは違う。
無関係じゃあないが。
0935１３２人目の素数さん
2012/04/30(月) 23:18:03.91だから、Hom(A,-):C->Sets なので、>>925はあれでいいだろ？
>>925ではここのHom(A,-)をKと書いたのだが。
>米田の埋め込み定理はそれとは違う
これがよく分からんが、俺は米田の埋め込み定理そのものを、どこでも
式で書いてはいないよ。
0936118
2012/05/01(火) 05:53:25.85式で書いてなくても言葉で書いてるだろ。
米田の補題でやりたいのは圏を集合圏にそのまま写すことと。
0937118
2012/05/01(火) 06:02:26.53俺のレベルも知らないくせにw
猫がもしそう思ってるならと書いてるだろ。
仮定の話だ。
0938118
2012/05/01(火) 06:05:13.64スレ違いw
0939１３２人目の素数さん
2012/05/01(火) 07:30:10.87>米田の補題でやりたいのは圏を集合圏にそのまま写すことと。
だからこのどこが違うんだ。
0941１３２人目の素数さん
2012/05/01(火) 09:02:53.88C -> Sets
圏を、集合圏に
圏を、集合圏に値を取る関手のなす圏
今度はあんたが米田を日本語で説明してみて。
数式をそのまま読むんじゃなくてな。
0942１３２人目の素数さん
2012/05/01(火) 09:14:41.76米田の埋め込み定理とは
任意の圏の双対圏はその圏から集合圏に値をとる関手全体のなす圏に埋め込める、
つまりその充満部分圏と同一視出来るということを主張する定理。
0943１３２人目の素数さん
2012/05/01(火) 09:16:41.01あんたがもの分かり悪いからループする。
0944１３２人目の素数さん
2012/05/01(火) 11:00:51.48もうこれで止めとくが、あんたのは間違いではないし丁寧だが、やっぱり
数式をそのまま読んでるに近いな。
まず「双対圏」は単に技術的操作なので削った方がよい。次に「充満部分圏と
同一視うんぬん」も削れるし削った方がよい。そうするとだいぶん簡素になる。
あとは問題の箇所だが、あんたのは長々しいが、まあf(a)=b の場合、
a固定なら、f≒bだろ（埋め込みと埋め込みの像の同一視は知ってるよね）。
このように修正すれば、ずいぶん短くなるし易しくなるだろ。
0945１３２人目の素数さん
2012/05/01(火) 11:13:56.96米田の補題を使って同一視出来るのは
C^o と Func(C, Sets) のある部分圏。
集合圏 Sets の部分圏じゃない。
0946１３２人目の素数さん
2012/05/01(火) 11:27:55.73双対圏が単に技術的だから削っほうがいいって、
削ったら間違った主張になるだろ。
0947１３２人目の素数さん
2012/05/02(水) 10:15:38.44で、米田のレンマって、圏についての議論は、
集合論の言葉（集合と写像）を使っても同じ
ことができるという事につながるのですか？
入門者の質問ですみません。
0948１３２人目の素数さん
2012/05/02(水) 10:39:08.28Func(C, Sets) は Sets の性質を反映するから
C より扱いやすい場合が多い。
Func(C, Sets) において例えばファイバー積は
Setsにおけるファイバー積を C の対象毎に
とることで得られる。
0949１３２人目の素数さん
2012/05/02(水) 10:57:20.93ということは、私の質問に対する答えは
Yesと理解していいのでしょうか？
0950１３２人目の素数さん
2012/05/02(水) 11:42:53.63質問が明確じゃないが Noだろ。
Sets と Func(C, Sets) は違うから。
C が Sets に埋め込めるなら Yes だが
一般的には埋め込めない。
因みに C が Sets に埋め込めるどうかを
判定するのは必ずしもトリビアルでない。
例えばホモトピー圏は Sets に埋め込めないことを
証明するのはそれほど簡単じゃない。
0951１３２人目の素数さん
2012/05/02(水) 12:16:54.25あれはさっぱりわからなかったので自分が知りたかった
ことを質問しました。
今回も全く分からなかったのでもうちょっと勉強します。
（と思うのですが、抽象地獄に落ちて方向性すら見えません）
すみません。
0952１３２人目の素数さん
2012/05/02(水) 12:22:51.52向いていないから素朴集合論をやりなさい
0953１３２人目の素数さん
2012/05/02(水) 12:47:14.79数学科の1、2年程度の知識がないと話にならない。
0954１３２人目の素数さん
2012/05/03(木) 12:01:08.040955１３２人目の素数さん
2012/05/03(木) 12:59:43.69enriched categoryとか高次圏でそれぞれ米田の補題が拡張される。
0956１３２人目の素数さん
2012/05/03(木) 13:12:00.35, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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0957１３２人目の素数さん
2012/05/03(木) 13:45:49.010958１３２人目の素数さん
2012/05/03(木) 13:46:49.980959１３２人目の素数さん
2012/05/03(木) 13:49:33.140960１３２人目の素数さん
2012/05/03(木) 13:53:14.35考えつこうとしている人はいるのですか？
そういう人は圏論のどこが不満なのですか？
0961１３２人目の素数さん
2012/05/03(木) 14:00:51.330962１３２人目の素数さん
2012/05/03(木) 14:01:59.110963１３２人目の素数さん
2012/05/03(木) 14:06:54.292chで質問するよりstack exchange とかmathoverflowで
聞いたほうがいい。
英語で質問出来ないなら英語の勉強が先決だな。
0964KingMathematician ◆LoZDre77j4i1
2012/05/03(木) 14:07:10.97函数の変数と値の関係を示す graph のことではない.
0965１３２人目の素数さん
2012/05/03(木) 14:24:16.48, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
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0966１３２人目の素数さん
2012/05/03(木) 15:05:00.970967１３２人目の素数さん
2012/05/03(木) 15:07:05.96退行にみえますが？
0968１３２人目の素数さん
2012/05/03(木) 15:36:32.24http://www.ritsumei.ac.jp/se/~tjst/doc/tjst/983-ncat-ct.pdf
0969１３２人目の素数さん
2012/05/03(木) 16:08:55.980970１３２人目の素数さん
2012/05/03(木) 17:14:58.78, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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0971１３２人目の素数さん
2012/05/03(木) 20:07:23.34, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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0972１３２人目の素数さん
2012/05/05(土) 11:45:10.780973１３２人目の素数さん
2012/05/05(土) 12:04:34.55計算機科学なんてなかった頃の人。
0974１３２人目の素数さん
2012/05/05(土) 12:05:26.18, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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0975１３２人目の素数さん
2012/05/08(火) 12:12:30.50＜定理＞射の集合をもつどんな圏も、集合を対象とし、関数を射とする或る圏と同型である。
0976１３２人目の素数さん
2012/05/08(火) 12:16:41.47／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
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0977１３２人目の素数さん
2012/05/08(火) 12:19:31.52／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
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0978１３２人目の素数さん
2012/05/08(火) 12:25:24.89／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
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0979１３２人目の素数さん
2012/05/08(火) 12:32:46.63／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
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0980１３２人目の素数さん
2012/05/08(火) 13:40:04.22その証明は自明だから米田も何も使わない。
英語版のwikipediaのconcrete categoryに説明がある。
0981１３２人目の素数さん
2012/05/08(火) 13:50:36.43／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
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0982１３２人目の素数さん
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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0985１３２人目の素数さん
2012/05/08(火) 15:06:40.16／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
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0986１３２人目の素数さん
2012/05/08(火) 15:06:57.26／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
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0987１３２人目の素数さん
2012/05/08(火) 15:07:49.67／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
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0988１３２人目の素数さん
2012/05/08(火) 15:08:04.29／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
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0989１３２人目の素数さん
2012/05/08(火) 15:08:22.33／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
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0990１３２人目の素数さん
2012/05/08(火) 15:08:37.02／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
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0991１３２人目の素数さん
2012/05/08(火) 15:08:53.84／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
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0992１３２人目の素数さん
2012/05/08(火) 15:09:10.05／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
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0993１３２人目の素数さん
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0994１３２人目の素数さん
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0995１３２人目の素数さん
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0996１３２人目の素数さん
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| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
. | /::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ | '､ ＼
| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ ヽ、 |
| |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ /:＼__/‐､
| |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::| く:::::::::::::￣|
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1000１３２人目の素数さん
2012/05/08(火) 19:43:47.00, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
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| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
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1001１００１
Over 1000Threadもう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。
レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。