長方形がある。　定規（長さは測れない）のみを使ってある一辺の中点を求めよ
だだし線を引くときに長方形の外に出てはいけない

という問題なのですが
対角線を引いて中に平行線を引いて中点を
求めるやり方（後述）が見つかったのですが
そのやり方より少ない補助線で出来るらしいので
だれか理由も含めて教えてください。

※私の見つけたのは(左の数字は線の数です）
長方形ABCDのABの中点を求めるとします
(1,2).対角線を引く　
3.BC上の任意の点AとBを結びます
4.Pと対角線の交点をむすび　その延長とADの交点をQとする
5.QCを結ぶ　　(QC//QP)
6.△DQC内に任意の点Rを取る
(7,8).AR　PRをむすび、各線分とQCとの交点をS,Tとする（AS:SR=PT:TR)
(9,10). SP,ATをむすび交点をXとする
11.　RXをむすび　延長してAPとの交点をYとする
12.対角線の交点とYを結んだ直線とABとの交点Mが中点（チェバよりAM:BM＝１：１）