ちと計算してみたが自信ない。
他に上手いやり方があったら教えてくれ。

25!=2^22 * 3^10 * 5^6 * 7^3 * 11^2 * 13 * 17 * 19 * 23
2^6*5^6=10^6、2^10=1024、7*11*13=1001、7^2*2=98、
11*3^2=99、3*17*19=969、2^2*23=92、2^2*3^3=108より
25!=162 * 98 * 99 * 969 * 92 * 10^6 * 1024 * 1001 * 108

ここで162*98*99*969*92 > 144*92^4*10なので
144*92^4*10=1.44*9.2^4*10^7 = (1.2*9.2^2)^2*10^7 > (10^2)^2*10^7 = 10^11
162*98*99*969*92 > 10^11となるので
25! > 10^11 * 10^6 * 10^3 * 10^3 * 10^2 = 10^25

また、
1024*969 = (996.5+27.5)(996.5-27.5) = 996.5^2-27.5^2 < 10^6
108*92 = (100+8)(100-8)=10^4-64 < 10^4
1001*99 = (99.55+0.55)(99.55-0.55)*10 = (99.55^2-0.55^2)*10 < 10^5
10^6*98 < 10^8
162 < 10^3　より
25! < 10^6 * 10^4 * 10^5 * 10^8 * 10^3 = 10^26

10^25 < 25! < 10^26より、25!は25桁