>>598
学問を表す言葉の意味を定義しても、それは暫定的なモノに過ぎず、
殆ど意味がないと思うが、一応定義する。

定義1:「純粋数学」という言葉の定義を改めてする必要はない。
さすがに、これについては数学板の人なら認めるな。
定義2:「数学」とは、厳密な「純粋数学」のことである。
公理3:「数学」は、厳密な「純粋数学」に等しい。
普通に考えて、「純粋数学」は「数学」だから、これも証明不要でいいな。
定義4:「応用数学」とは、「数学」を応用した学問のことである。
「数学」、「純粋数学」、「応用数学」の各存在性や、
これらについての各分野の存在性は、改めて疑うまでもない。

以後、集合論のように「数学」、「純粋数学」、「応用数学」をすべて集合族として扱い、
これらの各分野をすべて集合として扱う。
即ち、「数学」という言葉をA、同様に「純粋数学」をB、「応用数学」をCで表し、
Aの分野をa、Bの分野をb、Cの分野をcで表すとする。
そしてA、B、Cはどれも集合族、a、b、cはどれも集合とする。
ここに、a、b、cの各元は、どれもa、b、cの内容のこととする。

命題5:CはAつまりBを応用した学問のことである。即ち、C⊆A=B。
証明]これは公理3と定義4により明らかである。
命題6:任意のc∈Cに対して或るa∈Aが存在してc∩a≠∅。
証明]或るc∈Cが存在して任意のa∈Aに対してc∩a=∅であったとする。
命題5に注意すると、c∈Cに対してc∈Aである。また、cは集合である。
よって、記法の規約に注意すれば、cは「数学」を応用した学問であって、
cに対して或るa∈Aが存在してc∩a≠∅となって矛盾が生じる。

命題5、命題6から、応用数学の任意の分野は何らかの形で純粋数学の或る分野とかかわりを持つ。