>>25
(インチキ証明)
A[x] のイデアルが有限生成であるとすると、A のイデアル C を A[x] の部分集合として <C> (C で生成した A[x] のイデアル) を考える。
A[x] のイデアルは有限生成だから、有限個の b1…bn ∈ <C> が存在して <C>＝A[x]b1＋…＋A[x]bn となる。
従って A ∩ <C>＝A ∩ A[x]b1＋…＋A ∩ A[x]bn 。
bi (i＝1〜n) の内、C の要素でないものは多項式次数が 1 以上だから A[x]bi の要素も 0 または次数 1 以上となり、A ∩ <C> は bi ∈ C となる A ∩ A[x]bi の和となる。
A ∩ <C>＝C , A ∩ A[x]bi＝A bi だから C は A bi の和となって A の有限生成イデアルである。
以上の証明の間違いは何〜処か？