[問題]
p≡1(mod 20)を満たす素数pは
x^2+20y^2, x^2+100y^2 の両方の形で表現できるか、
どちらの形にもならないことを示せ。

Kaplansky's theorem が出典です。(比較的新しい？)
これは初等的に示すことができます。
この問題の面白いところは
1つ1つの形の条件がいわゆる合同式の言葉で
表現できないところにあるとおもいます。

http://en.wikipedia.org/wiki/Kaplansky's_theorem_on_quadratic_forms