ここで、任意に正整数tを固定し、
g_t(x,y):=f(x)-ty^3 として、
g_t(x,y)=0で定まるaffine代数曲線C_tを考えます。
このとき、Cは非特異で種数は1以上です。
ここではそのことを示すことにします。

(α,β)が特異点だと仮定すると、
f(α)=tβ^3
f'(α)=0
3tβ^2=0
の3つの等式が同時に成立するとなるので、
αはfの重根となり、fの既約性に矛盾します。
(重根となるところにdeg(f)＞1も用いています)

Cは非特異なので、種数は公式により、(d-1)(d-2)/2 (d=deg(g_t))
これとd≧3より、Cの種数が1以上であることがいえました。

さて、仮定により、ある正整数hが存在して、
affine代数曲線C_h上に整点が無限に存在するとなりますが、
これはSiegelの整点に関する定理に矛盾します。

http://en.wikipedia.org/wiki/Siegel's_theorem_on_integral_points