>>793
p≠3,5の場合を考えれば十分である。

p=a^2 +3ab +6b^2は4p=(2a+3b)^2 +15b^2より、(-15/p)=(p/5)=(p/3)=1がいえる。

逆に、(-15/p)=(p/5)=(p/3)=1がいえるとき
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/suuron/node65.html
より、x^2≡-15 (mod p)の解をsとするとき、|pu+sv|＜15^(1/4)・p^(1/2)、|v|＜15^(-1/4)・p^(1/2)
をみたす原点と異なる格子点(u,v)の存在が言える。
このとき、(pu+sv)^2 +15v^2≡0 (mod p)かつ0＜(pu+sv)^2 +15v^2＜2√15・p＜8pがいえるから
x^2 +15y^2=kp、1≦k≦7をみたす整数x,y,kの存在が言える。
x^2 +15y^2≡0,1,3 (mod 4)よりk=2,6はありえない、また(-15/7)=-1よりk=7もありえない。
k=3,5の場合は、(p/5)=(p/3)=1を用いると、>>791と同様にして矛盾が導ける。

したがって求める必要十分条件は、(-15/p)=(p/5)=(p/3)=1である。

問題
pをp≡3 (mod 8)をみたす素数とする。pが合同数になりえないことを証明せよ。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%88%E5%90%8C%E6%95%B0