>>769の続き

tを正の整数とする。
nと互いに素な整数の個数φ(n)をとる
nの素因数pをn^(1/t)より大きなものとn^(1/t)以下のものに分ける。
φ(n)=n・Π_[p|n] (1- 1/p)=n・Π_[p|n,p≦n^(1/t)] (1- 1/p)・Π_[p|n,n^(1/t)＜p] (1- 1/p)
nのn^(1/t)より大きな素因数は高々t-1個だから
Π_[p|n,p≦n^(1/t)] (1- 1/p)・Π_[p|n,n^(1/t)＜p] (1- 1/p)
=Π_[p|n,p≦n^(1/t)] (1- 1/p)・(1-1/{n^(1/t)})^(t-1)
≧Π_[p≦n^(1/t)] (1- 1/p)・(1-1/{n^(1/t)})^(t-1)
={e^(-γ)/log n^(1/t)}・e^{f(n^(1/t) )}・(1-1/{n^(1/t)})^(t-1)
={t・e^(-γ)・e^{f(n^(1/t) )}・(1-1/{n^(1/t)})^(t-1)}/log n

ここで、C=28^6、t=6とおくと
f(n)≦-α/log 28=-0.22985…だから
{t・e^(-γ)}・e^{f(n^(1/t) )}・(1-1/{n^(1/t)})^(t-1)
≧6・e^(-γ-α/log 28)・(1- 1/28)^5
=2.23188…だから

φ(n)≧2.2318・n/log nがいえる。

したがって、nと互いに素な合成数の個数は
少なくとも、2.23188・n/log n - 1.10556・n/log n=1.12632・n/log n＞1.10556・n/log n
となるから、1やnと互いに素な素数の個数よりも多い。

よって、n≧28^6のとき、nは互いに素な合成数の和で必ず書けることが言えた。