>>683の⑤
答えは「存在しない」

x,y＞0としても問題ないので、以後そうする。
2^x-3^y≡-7 (mod 24)となるのは、xが3以上の偶数かつyが偶数であることがすぐにわかる。
x=2u、y=2vとおくと2^x -3^y=(2^u +3^v)(2^u -3^v)

2^u -3^v=±1 をみたすu,vを求める。
2^u -3^v=1の解は(mod 8)で考えるとu=1、v=1以外にないことがわかる。
このとき|2^x -3^y|=5だから、問題の条件をみたさない。

2^u =3^v -1は(mod 8)で考えると、vが偶数であることがわかる。
3^(v/2) -1と 3^(v/2) +1が2のベキ乗になるのは3^(v/2) -1=2、 3^(v/2) +1=4
に限られるから、v=2、u=3と定まる。
このとき|2^x -3^y|=17だから、問題の条件をみたす。

u,vが上記の値以外のときは、|2^x -3^y|は合成数となるから
問題の条件をみたす素数pはp=17に限られる。