>>564
>>566さんが解いてるけど、わかってない人がいるから詳しくw
(1)
ウィルソンの定理(p-1)!≡-1 (mod p)を使う。
({(p-1)/2}!)^2≡(-1)^{(p-1)/2}・1・2・...・{(p-3)/2}・{(p-1)/2}・{p-(p-1)/2}・{p-(p-3)/2}・...・(p-2)・(p-1)
≡(-1)^{(p-1)/2}・(p-1)!≡(-1)^{(p+1)/2}≡1 (mod p)
したがって、{(p-1)/2}!≡±1 (mod p)がいえる。
（p≡3 (mod 4)だから、(p+1)/2が偶数になるのがポイント！)

余談だが、もしp≡1 (mod 4)であれば、上と同様にして({(p-1)/2}!)^2≡-1 (mod p)がいえるから
p≡1 (mod 4)のとき、x^2≡-1 (mod p)の整数解が求められる。

(2)
(1)より、({(p-1)/2}!)^2≡1がいえている。また(p-1)/2は奇数だから
{(p-1)/2}!≡({(p-1)/2}!)^{(p-1)/2}≡(1/p)・(2/p)・...・({(p-1)/2}/p)
ちなみに(1/p)，(2/p)，…，({(p-1)/2}/p)はルジャンドルの記号
よって>>566さんの言うとおり、1、2、…、(p-1)/2のうちで平方剰余の個数が
偶数であれば{(p-1)/2}!≡1 (mod p)、奇数であれば{(p-1)/2}!≡-1 (mod p)となる。