C[n.r]=n!/r!(n-r)!=n(n-1)(n-2)…(n-r+1)/r!

ここで(n-r+1)からnまでの整数はr個あるので、これらは法rについて完全剰余系を成す。
故にn,(n-1),(n-2),…,(n-r+1)の内どれか一つはrと合同、即ちrの倍数である。
r!はrの倍数であるから分母分子ともrの倍数である。
同様にして分母分子とも(r-1),(r-2),…,2,1の倍数であることがわかる。
従って分母分子ともr!の倍数であることがわかる。

ここでn-r+1≧1で分母分子共に連続したr個の整数の積であるから(分母)≧(分子)で、分母分子ともr!の倍数であるから与式は自然数になる。 □

これなら厳密な証明かね