初等整数論の問題②
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0001１３２人目の素数さん
2010/11/16(火) 23:29:13(なるべくは初等数論の領域で解ける問題が望ましいです^^)
そもそも初等数論とは何かがわからない人は
次のURLにあるページのElementary number theoryの項を参照に^^
http://en.wikipedia.org/wiki/Number_theory
ただ曖昧な部分もあるので その点は融通を利かせましょう^^
なるべくそこらへんに転がっていない問題を挙げましょう^^
有名どころの問題の解答はネットで すぐみつかっちゃいます^^
たとえば、国際数学オリンピックの問題などはまさにその典型です^^
そのような有名すぎる問題を挙げても それは大抵は既に十分に議論されています^^
(しかしながら、何らかのオリジナル要素(改変,拡張etc)を加えたものなら歓迎^^)
また、解答が事前に用意されていない問題を挙げるときは そのことを明記しておきましょう^^
初等数論の問題を解くときはいくらかの道具を想定しておくのが基本です^^
以下のURLにたくさんの良く知られた道具(記号の説明含む）がありますので参考にどうぞ^^
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=76610&ml=1
0153１３２人目の素数さん
2010/12/05(日) 23:30:04⑨じゃなくて⑩だね。
⑨は存在自体非自明だね。
0154１３２人目の素数さん
2010/12/07(火) 01:21:45(2x+3)(x^2-3x+1)：x=-2,-1,0,1,2
(x+2)(x^2-3x+1)：x=-3,-1,0,1,3
0155１３２人目の素数さん
2010/12/07(火) 03:17:22すげえな どうやってみつけたか聞いていいか？
0156１３２人目の素数さん
2010/12/07(火) 03:49:290157１３２人目の素数さん
2010/12/07(火) 04:00:22x=-2,-1,0,1,2.
0158１３２人目の素数さん
2010/12/07(火) 04:45:04キモはPの2次因子の形が決定できるということ。
P=QR, deg(Q)=1, deg(R)=2とすると、|P|が素数なら
(1) |Q|=1で、|R|は素数 --高々2通り
または
(2) |R|=1で、|Q|は素数 --高々4通り
特に、|P(n)|が素数となるnが5つあるなら、(2)の場合が少なくとも3通りなければならない。
Rの2次項係数が正であるとしておく。
|R(a)|=|R(b)|=|R(c)|=1（a,b,cは整数でa<b<c）とすると、R(a)=R(c)=1, R(b)=-1
(i) a+c=2bのとき
d=c-b=b-aとおくとdは正整数でR(x)=k(x-b+d)(x-b-d)+1（kは正整数）
このとき-1=R(b)=1-kd^2⇔kd^2=2 これよりk=2, d=1、よってR(x)=2(x-b)^2-1.
(ii) a+c≠2bのとき
2次関数の軸に関する対称性よりR(b')=-1, a<b'<c、b≠b'となる整数b'が存在する。b<b'としてよい。
-2=R(b')-R(a)はb'-aで割り切れるからb'-a=1 or 2。同様にc-b=1 or 2。
a<b<b'<cだから、この4数は隣り合う数の差が1でなければならない。
R(x)=k(x-a-1)(x-a-2)-1（kは正整数）とおくと1=R(a)=2k-1⇔k=1、よってR(x)=(x-a-1)(x-a-2)-1
こうやってRの形を決めたらあとは1次因子Qが条件を満たすように決めればいい。
0159１３２人目の素数さん
2010/12/08(水) 01:28:12サンクス！
素数6個は不可能ぽいが5個の場合はいくらでも例が作れそうなんだな
0160１３２人目の素数さん
2010/12/08(水) 22:10:04(-37/p)をp=3,5,7,11,13,17に対して計算してみると全て-1になるから。
実際に計算してみると次のようになる(補充法則および相互法則を利用)
(-37/3)=(-1/3)= -1
(-37/5)=(-2/5)=(2/5)=-1
(-37/7)=(-2/7)=-(2/7)=-1
(-37/11)=(-2^2/11)=-1
(-37/13)=(2/13)=-1
(-37/17)=(-3/17)=(3/17)=(17/3)=(2/3)=-1
問題として考えられるもの。
「もうちょっとminの値の19が大きくなるような
なるべく小さな定数は37のほかになにがあるか」
0161１３２人目の素数さん
2010/12/11(土) 15:30:00p<=23.
-163.
p<=37.
-11302.
p<=43.
-30493.
p<=61.
-106177.
p<=71.
0162１３２人目の素数さん
2010/12/11(土) 19:30:00p<=73.
0163１３２人目の素数さん
2010/12/11(土) 22:50:360164１３２人目の素数さん
2010/12/12(日) 19:24:24各整数n≧6に対して、τ(n!)|n! が成立することを示せ。
0165１３２人目の素数さん
2010/12/13(月) 02:08:11① (m,n)＝(2,3),(2,5),(3,2),(5,2)のとき、
x+y+z=0を満たす任意の実数x,y,zに対して
(x^{m+n}＋y^{m+n}＋z^{m+n})/(m＋n)＝(x^m＋y^m＋z^m)(x^n＋y^n＋z^n)/mn
が成り立つことが分かっている。他に整数解(m,n)は存在するか？全て求めよ
② 以下の条件を満たす正の整数(a,x,y,n,m)の組をすべて求めよ
a(x^n－x^m)＝(ax^m－4)y^2, m≡n (mod 2) かつ ax は奇数
③ 自然数Nの10進表示を a[1]a[2]..a[n] 等とする。
N = (a[1]+2)*(a[2]+2)*...*(a[n]+2)
を満たすような自然数Nを全て求めよ。
④ フィボナッチ数列類似の多項式列{F(n)}を次のように定義する：
F(0) = 0, F(1) = 1, F(n+2) = F(n+1) + x^n F(n).
このとき、任意の自然数nに対して、
F(5^n) は 1 + x + x^2 + … + x^(5^n - 1) で割り切れることを示せ。
⑤f^3=g^2+1 を満たすf,g∈C(X)＼C は存在するか。
0166１３２人目の素数さん
2010/12/13(月) 02:10:281/x_1+1/x_2+...+1/x_n=1 を満たすとき
x_1+x_2+...+x_n の最大値を求めよ。
⑦a^a*b^b=c^c を満たす整数a,b,c＞1の組は無限に存在するか。
⑧4桁の自然数Mをp進法において反転させたものをNとする。
M=2N が成立するような正整数p,M(p＞1)の組を全て求めよ。
⑨各整数n≧6に対して、τ(n!)|n! が成立することを示せ。
⑩次の条件を満たす整数m＞1を全て求めよ。
[条件]あるf∈Z[X]が存在していて、(1),(2),(3)を満たしている
1) ∃n∈Z f(n)≡0 (mod m)
2) ∃n∈Z f(n)≡1 (mod m)
3) ∀n∈Z f(n)≡0 ∨ f(n)≡1 (mod m)
0167１３２人目の素数さん
2010/12/15(水) 01:01:35Σd ＝Σn/d を示せ。
d|n d|n
Σdとはｎの約数の和である。
d|n
例：ｎ＝12のとき
Σd＝1+2+3+4+6+12＝28
d|12
Σ12/d＝12/1＋12/2＋12/3＋12/4＋12/6＋12/12＝28
d|12
すいませんがわかる方、証明お願いします。
0168１３２人目の素数さん
2010/12/15(水) 01:33:25nの正の約数(k個あるとします)を
d_1,d_2,..,d_k とおきますと、
n/d_1, n/d_2, ..., d/d_k も
k個の異なるnの約数となります。
さて、Σ[d|n]d はnの約数を全て足し合わせるということですから、
したがって、Σ[1≦i≦k]n/d_i と一致することがいえるわけです。
Σ[1≦i≦k]n/d_i = Σ[d|n]n/d は 明らかですから これで終わり。
0169訂正
2010/12/15(水) 01:37:33各n/d_i がnの約数になっていることは
n/(n/d_i) = d_i(正整数) の成立からいえます。
n/d_1, n/d_2, ..., n/d_k がそれぞれ異なっているのは
d_1,d_2,..,d_k が異なっていることからいえます。
ですから個数を比較することで、
{d_1,d_2,..,d_k} = {n/d_1, n/d_2, ..., n/d_k} がいえるのです。
0170１３２人目の素数さん
2010/12/15(水) 16:21:36このとき(a+b)/(b+d)は既約分数であることを示せ。
0171１３２人目の素数さん
2010/12/15(水) 16:24:240172猫はCat ◆MuKUnGPXAY
2010/12/15(水) 16:25:52猫
0173１３２人目の素数さん
2010/12/15(水) 17:31:06入試問題で言えば、設問の小問①ってとこじゃね。
もちろんＤＱＮ大
0174１３２人目の素数さん
2010/12/15(水) 17:35:060175Ｌ
2010/12/15(水) 18:52:08反例) a=2,b=5,c=1,d=9 とすると、
ab-cd=1 であるが、(a+b)/(b+d)=7/14 となってしまう
おそらく正しい問題文は次の通りかと。
a,b,c,d∈Ｚ+ でad-bc=1を満たすとする。
このとき(a+b)/(c+d)は既約分数であることを示せ。
[解答例]
a+b,c+dの共通素因子が存在したとし、それをpとすると、
b≡-a, c≡-d (mod p)であるから、
1≡ad-bc≡ad-(-a)(-d)≡0 (mod p)
これは明らかに矛盾である。
0176１３２人目の素数さん
2010/12/15(水) 20:18:16だな、俺もそう思う。
0177１３２人目の素数さん
2010/12/16(木) 08:48:36この時,(x^2+y^2)zは平方数の和(つまり,(x^2+y^2)z=a^2+b^2(但し,a,b∈Z, a^2+b^2≠0))として表せない。
は正しいでしょうか? 正しくないなら反例をお願い致します。m(_ _)m
0178１３２人目の素数さん
2010/12/16(木) 12:15:530179１３２人目の素数さん
2010/12/16(木) 12:17:48うわー、>>173顔真っ赤だなー、真っ赤だわ
0180Ｌ
2010/12/16(木) 14:12:54正しいです
z≡-1(mod 4)より、v_p(z)が奇数となるような素数p≡-1(mod 4)が取れます。
そのとき、v_p((x^2+y^2)z)も奇数ですから、2つの平方数の和で表現不可です。
0181Ｌ
2010/12/16(木) 20:23:40⑩問題文を次のように見やすくしておきます。
f(Z/mZ)={0,1}を満たすf∈Z[X]が存在するような
整数m＞1を全て求めよ(Z/mZ={0,1,2,..,m-2,m-1})
[回答]
求める整数m＞1は素数冪だけである。これを示す。
mが素数冪であるとき、f(X)=X^(φ(m))とすればよい。
mが素数冪でないとき、m=a*b なる互いに素な整数a,b＞1の組が取れる。
f(Z/mZ)={0,1} を満たすf∈Z[X]が存在したと仮定する。
このとき、f(Z/aZ)={0,1} かつ f(Z/bZ)={0.1} が成立する。
f(α)=0 in Z/aZ かつ f(β)=1 in Z/bZ
を満たすα+aZ∈Z/aZ, β+bZ∈Z/bZ の組が取れる。
中国剰余定理より、x≡α(mod Z/aZ)かつx≡β(mod Z/bZ)
を満たすようなx∈Zが取れるが、そのようなxに対して、
f(x)≡0,1 (mod Z/mZ) は成立していない。
0182１３２人目の素数さん
2010/12/16(木) 22:21:25どうも有難うございました。お蔭様で解決できました。
0183１３２人目の素数さん
2010/12/17(金) 17:28:493^0=1,3^1,3^2,....,3^(n-1)キロのｎ個の錘が与えられたとする。
何個かを一方の皿に乗せ、別の何個かをもう一方のさらに乗せることによって、
全ての重さＮ個を量ることが出来る。このことを示せ。
ただしＮは1≦Ｎ≦((3^n)-1)/2の範囲の整数とする。
（ヒント：次の形の整数の和を考えよ。
e_0+3e_1+3^2e_2+.....+3^(n-1)e_n-1
ただし、e_i=-1,0,1）
0184１３２人目の素数さん
2010/12/17(金) 17:50:39>>1
まあ3進展開の一意性より明らかといっておこう。
(係数は0,1,2から-1,0,1にずらしても性質は不変)
0185１３２人目の素数さん
2010/12/20(月) 19:26:50k を整数とすると
p を満たすのは 4k＋2
k＝2l(エル)＋1
よって解は (5-√21)/2 です
池沢春人「黒鉄－クロガネ－」より抜粋（笑）
http://a-draw.com/contents/uploader2/src/a-draw1_1191.jpg
＜問題＞
以上の解を満たすような数IAの整数問題を作成しなさい＾ｐ＾
0186１３２人目の素数さん
2010/12/20(月) 19:45:14平衡３進法
0187１３２人目の素数さん
2010/12/20(月) 20:32:15おもしろいｗ どっからとってきた？その漫画ｗ
0188１３２人目の素数さん
2010/12/20(月) 21:10:20f(p):={(p-2)-4√(p-1)}/8 が
X^2+aX+b∈Z[X] の正の根となるような
最小の自然数pに対して、f(p)の値を求めよ。
0189１３２人目の素数さん
2010/12/20(月) 21:26:38あぁ、書き忘れてました
今週の週刊少年ジャンプです＾ｐ＾
0190１３２人目の素数さん
2010/12/20(月) 21:27:27もっと数IAっぽく書いてくれ
もしくは東大入試問題っぽくｗ
0191１３２人目の素数さん
2010/12/20(月) 21:27:54ちょっと解答が足りないけれど．
パラメータpを次のようにとる．
・pは平方数を因子に持たない正の偶数でかつ[p/4]が奇数になるような数であり，
さらにf(x)=x^2-5x+p/6=0がx>0に2つの解を持つ．
このとき，実数の方程式f(x)=0の解になりうる最小の数を求めよ．
0192１３２人目の素数さん
2010/12/20(月) 21:48:56最小の自然数pに対して、上記の数を求めよ。
0193１３２人目の素数さん
2010/12/20(月) 22:01:09p=4k+2, k=2l+1 などはあまり明らかでないほうがよい。
なんらかの飛躍により、この2つが得られたと思うべき。
(明らかなのにpがなんとかこうとかとワザワザ言うのはおかしい)
ここまでにでた例は全て簡単すぎる。
しかも >>188 も >>191 だいたい似ている。
>>191 は数IAっぽいが pが明らかすぎる。
>>188 は数IAぽくない書き方をしている。
0194１３２人目の素数さん
2010/12/20(月) 22:11:04p=6で(1-√5)/2はx^2-x-1の根では？
ダメ出しされてしまったので，もう少しよいのを考えてみよう．出来るかわからないけど．
0195１３２人目の素数さん
2010/12/20(月) 22:16:42東大入試レベルにとどめておけよｗ
0196１３２人目の素数さん
2010/12/20(月) 22:28:57正と書いてあるので p=6は弾かれる。((1-√5)/2は負である！)
同様にp=14も弾かれる。
0197１３２人目の素数さん
2010/12/20(月) 22:34:04なるほど，失礼しました．
0198１３２人目の素数さん
2010/12/20(月) 23:08:040199１３２人目の素数さん
2010/12/20(月) 23:08:25このような面白い素数をなるべくたくさんみつけよ。
0200１３２人目の素数さん
2010/12/20(月) 23:14:410201１３２人目の素数さん
2010/12/20(月) 23:18:39ぐうにゅうふいたｗｗ
0202１３２人目の素数さん
2010/12/20(月) 23:47:088753（はなこさん) は素数
0203１３２人目の素数さん
2010/12/21(火) 00:30:190204１３２人目の素数さん
2010/12/21(火) 00:33:09それは素数じゃねえぞ
0127なら素数なんだけどね？？
0205１３２人目の素数さん
2010/12/22(水) 17:14:43k＝2l(エル)＋1みたいな要素入れるのなんて無理
0206１３２人目の素数さん
2010/12/22(水) 17:44:31新作問題が出ない。
数版の限界か？
0207１３２人目の素数さん
2010/12/22(水) 18:44:07ドッカン
ｍ ドッカン
＝＝＝＝＝） ）) ☆
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0208１３２人目の素数さん
2010/12/22(水) 20:51:002chにおいて板はばんって読むんじゃなくていたってよむんだぜ？
0209１３２人目の素数さん
2010/12/22(水) 22:15:100210１３２人目の素数さん
2010/12/22(水) 22:19:080211１３２人目の素数さん
2010/12/22(水) 22:55:33程度が知れるぜ宗教野郎
0212１３２人目の素数さん
2010/12/22(水) 22:59:11個人のブログがソースかよ
0213１３２人目の素数さん
2010/12/22(水) 23:34:48誤用かどうかは個人個人のブログでやってろよっていう
ソースだろ？もしかしておまえそれ反論でもしてるつもりなのか？
0214１３２人目の素数さん
2010/12/22(水) 23:42:13そのブログにも辞書に誤用だって載ってるって書いてあるのに
0215１３２人目の素数さん
2010/12/22(水) 23:56:590216１３２人目の素数さん
2010/12/23(木) 00:33:47①x+y+z=0を満たすような任意の実数x,y,zに対して
(x^{m+n}＋y^{m+n}＋z^{m+n})/(m＋n)=(x^m＋y^m＋z^m)(x^n＋y^n＋z^n)/mn
が成立するような整数m,nの組を全て求めよ
② 以下の条件を満たす正の整数(a,x,y,n,m)の組を全て求めよ
a(x^n－x^m)＝(ax^m－4)y^2, m≡n (mod 2) かつ ax は奇数
③ 自然数Nの10進表示を a[1]a[2]..a[n] 等とする。
N = (a[1]+2)*(a[2]+2)*...*(a[n]+2)
を満たすような自然数Nを全て求めよ。
④ フィボナッチ数列類似の多項式列{F(n)}を次のように定義する：
F(0) = 0, F(1) = 1, F(n+2) = F(n+1) + x^n F(n).
このとき、任意の自然数nに対して、
F(5^n) は 1 + x + x^2 + … + x^(5^n - 1) で割り切れることを示せ。
⑤f^3=g^2+1 を満たすf,g∈C(X)＼C は存在するか。
⑥自然数x_1, x_2, ..., x_nが
1/x_1+1/x_2+...+1/x_n=1 を満たすとき
x_1+x_2+...+x_n の最大値を求めよ。
0217１３２人目の素数さん
2010/12/23(木) 00:35:14⑧4桁の自然数Mをp進法において反転させたものをNとする。
M=2N が成立するような正整数p,M(p＞1)の組を全て求めよ。
⑨各整数n≧6に対して、τ(n!)|n! が成立することを示せ。
⑩a^2+b^2+b^2=2(ab+bc+ca)+p^n を満たすような
素数p,整数n,平方数a,b,cの組(p,n,a,b,c)は存在するか。
(ここでは平方数はm^2(m:正整数)の形で表現される数)
⑪|2^x-3^y|=p を満たす整数x,yの組が存在するような
p≡-7(mod 24)なる素数pはp=17以外に存在するか。
⑫x^4+y^4=z^2+1 を満たす整数x,y,zの組は無限に存在するか。
(x^4+y^4=z^2 が非自明な整数解を持たないことは良く知られている)
0218１３２人目の素数さん
2010/12/23(木) 00:43:18×a^2+b^2+b^2
〇a^2+b^2+c^2
0219１３２人目の素数さん
2010/12/23(木) 03:10:000220１３２人目の素数さん
2010/12/23(木) 03:20:000221１３２人目の素数さん
2010/12/23(木) 03:38:41寝ている間に問題の誤りに気づいてしまいました^^;
⑫x^4+y^4=z^2+1 を満たす整数x,y,z＞1の組は無限に存在するか。
(x^4+y^4=z^2 が非自明な整数解を持たないことは良く知られている)
1を許してしまうと >>220 の例により無限にあるとなります^^;
0222１３２人目の素数さん
2010/12/23(木) 16:55:30⑪の設定の理由は？ なぜ mod24？ なぜ2と3の累乗？ なぜ -7？
理由があるなら(あるとおもうけど)教えてちょ。
0223１３２人目の素数さん
2010/12/23(木) 19:27:32a^m-b^n(a,bはa,b＞1なる整定数)はどんな素数を取りうるか
という問題がさきにあったわけです。
そこで、a,bとして最小なペアはa=2,b=3があるわけです。
絶対値がついているのは取りうる値の個数を増やすため。
このままでは問題はとても難しいので、
さきに素数をmodで限定することを考えるわけです。
mod mで考えるとして、mはなるべく小さいほうがいいでしょう。
このとき、次のことがいえるわけです。
任意に互いに素な整数m,s(1＜m＜24)の組を固定したとき、
|2^x-3^y|=p を満たす整数x,yの組が存在するような
p≡s(mod m)なる素数pは少なくとも2つ存在する。
(おそらく無限に存在するのだとはおもいますが、
未解決問題が絡むゆえ、そのことの証明は困難でしょう)
そのことに注目したので、mod 24で考えているわけです。
-7の理由は単純です。p≡-7(mod 24)でないとすれば
条件を満たすpは少なくとも2つ存在するからです。
0224１３２人目の素数さん
2010/12/23(木) 19:35:21-7の理由も書きなおしておきます^^;
「-7≡s を満たさない24と互いに素な整数sを任意に固定するとき、
|2^x-3^y|=p を満たす整数x,yの組が存在するような
p≡s(mod m)なる素数pは少なくとも2つ存在するから」
0225１３２人目の素数さん
2010/12/23(木) 19:54:003=2^2-3^0
5=2^3-3^1
7=3^2-2^1
11=3^3-2^4
13=2^4-3^1
17=3^4-2^6
19=3^3-2^3
23=2^5-3^2
29=2^5-3^1
31=2^5-3^0
37=2^6-3^3
0226１３２人目の素数さん
2010/12/25(土) 11:53:00問題：
Nから{0,1}への写像全体の集合族をXと置く。
Xの2元f , g：N → {0,1} に対して、f＋g∈Xを次のように定義する。
(f＋g)(n)：＝ 「f (n)＋g(n) を2で割った余り」 (n∈N)
次に、f∈Xに対して
E(f)：＝lim[n→∞]＃{ i｜1≦i≦n, f (i)＝1}/n
と置く(fによっては、E(f)は存在しないこともある)。
次が成り立つことを示せ。
「Xの任意の点列{f_n}_{n∈N}に対して、あるg∈Xが存在して
E(g＋f_n)＝1/2 (n∈N)が成り立つ。」
0227１３２人目の素数さん
2010/12/25(土) 16:01:57{0,1}も別に本質ではない。
0228１３２人目の素数さん
2010/12/25(土) 16:17:48{0,1}は重要では？？
適当に構造をみて 良く知られた定理をアプライする問題だとおもう。
それをあてるクイズゲームだとおもえばいい。
0229１３２人目の素数さん
2010/12/25(土) 16:47:49XをR^nのコンパクトな凸集合とし、Int(X)≠φとする。
Xの境界はR^nの球面と同相であることを証明せよ。
0230１３２人目の素数さん
2010/12/25(土) 16:57:27選択公理は必要ですか？
選択公理がなくとも解けますか？
0231226
2010/12/25(土) 17:26:24{0,1}である必要は無いけど、「二元集合」であることは大切。
そして、「二元集合」の場合は「1/2」が大切で、1/2以外の値だと
反例が作れる。例えば「0」に置き換えて
「Xの任意の点列{f_n}_{n∈N}に対して、あるg∈Xが存在して
E(g＋f_n)＝ 0 (n∈N)が成り立つ。」
という主張を考えてみると、実はこれは成り立たない。
f_1(i) ＝ 1 (i∈N)
f_n(i) ＝ 0 (i∈N,n≧2)
としてXの点列{f_n}_{n∈N}を定義すると、これが反例になっていて、
どのようなg∈Xをとってきても「 E(g＋f_n)＝ 0 (n∈N) 」が
成り立つようには出来ない。
0232１３２人目の素数さん
2010/12/25(土) 17:35:13用意してある解答例は選択公理と独立？
0234１３２人目の素数さん
2010/12/26(日) 04:02:32pを3以上の素数とする。
(1) nを正の整数とするとき、Σ[i=1_n] i･p^i を p,n を用いて表せ。
(2) p-1以下の正整数kに対して、正整数a(k)をb(k)を
b(k) = {Σ[j=1,p-1] j^k}･a(k) と定める。
1≦k≦p-1 の全てのkについてb(k)がpの倍数であるとき a(k)も全てpの倍数だ
と言えるか？
東大入試作問者スレ１９-153
0235１３２人目の素数さん
2010/12/26(日) 04:21:55(1) 与式を f_n(p) とおく。
(p-1)f_n(p) = (p-1)pΣ[i=1,n] i･p^(i-1)
= p･{n･p^n - Σ[i=1,n] p^(i-1)}
= p･{n･p^n - (p^n - 1)/(p-1)}
= p･{n･p^(n+1) - (n+1)･p^n + 1)}/(p-1),
∴ f_n(p) = p･{n･p^(n+1) - (n+1)･p^n + 1)}/(p-1)^2,
(2)
k=p-1 のときは j^(p-1)≡1 (mod p) より
Σ[j=1,p-1] j^(p-1) ≡ p-1 ≡ -1 (mod p)
よって
p|b(p-1) ⇒ p|a(p-1)
しかし 1≦k≦p-2 のときは
Σ[j=1,p-1] j^k ≡ 0 (mod p)
の場合もあるので……
0236１３２人目の素数さん
2010/12/26(日) 04:58:20(2) あきらかにいえない
>>235 に正しい解答があるが、
敢えてはっきりというならば、
たとえば a(p-1)=p, a(i)=1 (1≦i＜p) としても
問題の条件を満たすことがいえる。
0237１３２人目の素数さん
2010/12/26(日) 22:13:08④
F(n;x) の次数は [ ((n-1)/2)^2 ]
>>217
⑩
平方数の定義により
a=A^2, b=B^2, c=C^2 (A,B,Cは正整数)
よって
p^n = a^2 + b^2 + c^2 -2(ab+bc+ca) = -(A+B+C)(-A+B+C)(A-B+C)(A+B-C),
右辺の４つの因子はすべて偶 または すべて奇。
0238１３２人目の素数さん
2010/12/26(日) 23:41:05④,⑩のいずれも解答の途中だね
そこまでなら皆わかっているハズ(`･ω･´)
0239１３２人目の素数さん
2010/12/27(月) 01:00:00ｃ－ａ－ｂ＜ａ＋ｃ－ｂ≦ｂ＋ｃ－ａ＜ａ＋ｂ＋ｃ。
（ｃ－ａ－ｂ）＋（ａ＋ｂ＋ｃ）＝（ａ＋ｃ－ｂ）＋（ｂ＋ｃ－ａ）。
0240御手洗景子
2010/12/27(月) 02:48:02⑩ 先に結論を書くならば、
「そのような組はギリギリ存在しない」
以下にそのことの証明を述べることにする。
a≧b≧c と仮定する。(そう仮定しても一般性を失わない)
a=x^2, b=y^2, c=z^2 を満たす正整数x,y,zの組を取る。
d=gcd(x,y,z)として、x=ds,y=dt,z=du を満たす正整数s,t,uの組を取る。
a^2+b^2+c^2-2(ab+bc+ca)=(x+y+z)(x+y-z)(x-y+z)(x-y-z) と分解できて、
右辺=d^4(s+t+u)(s+t-u)(s-t+z)(s-t-u) となるので、とくに、
(s+t+u)(s+t-u)(s-t+z)(s-t-u) はpの巾であることがいえる。
ここで、s+t+u＞s+t-u≧s-t+z＞s-t-u＞0 に注意しておく。
(ⅰ) p≧3 であるときを考える。
p|s+t+u,s+t-u,s-t+z であることから、p|2s,2t,2u がいえる。
pが奇素数であることとあわせて、p|s,t,u がいえる。矛盾。
(ⅱ) p=2 であるときを考える。
s+t+u≡s-t-u (mod 2) であるので、2|s-t-u となる。(s-t-u＞0に注意)
よって、4|s+t+u,s+t-u,s-t+u であることがいえる。
そこから、4|2s,2t,2u が得られるので、2|s,t,u がいえる。矛盾。
解答のポイントを箇条書きすると...
1) 簡単な因数分解に気づく
2) 3つの数のGCDを取る
3) 大小関係に気をつける
4) pが奇素数かどうかでわける
0241１３２人目の素数さん
2010/12/29(水) 00:46:350242１３２人目の素数さん
2010/12/29(水) 02:59:33(|a|,|b|,c) = (1, n^3, n^2)
(|a|,|b|,c) = (8m^6 -1, 4m^3, 4m^4)
0243１３２人目の素数さん
2010/12/29(水) 03:12:120244１３２人目の素数さん
2010/12/29(水) 14:00:00ｐ＾ｅ＝ａ＋ｂ＋ｃ。
ｐ＾ｆ＝ａ＋ｃ－ｂ。
ｐ＾ｇ＝ｂ＋ｃ－ａ。
ｐ＾ｄ＋ｐ＾ｅ＝ｐ＾ｆ＋ｐ＾ｇ。
ｐ＾ｅ，ｐ＾ｆ，ｐ＾ｇはｐ＾（ｄ＋１）の倍数でｐ＾ｄはｐ＾（ｄ＋１）の倍数でないので矛盾。
0245１３２人目の素数さん
2010/12/29(水) 17:18:03GJ
0246１３２人目の素数さん
2010/12/30(木) 04:36:31□投稿者/ 御手洗景子 ＠ 一般人(4回)-(2010/06/17(Thu) 21:05:50)
http://mixi.jp/show_friend.pl?id
(1)1/(1-x-x^2)=Σ(n=0～∞)a_n（x^n)に対して、a_0，・・・,a_10を求め、その規則性を見つけよ。そして、どうしてその規則性が成り立つのか説明せよ。
(2)（2-x）/（1-x-x^2)Σ(n=0～∞)a_n（x^n)に対して、a_0，・・・,a_10を求め、その規則性を見つけよ。そして、どうしてその規則性が成り立つのか説明せよ。
(3)（x^2）/（1-x-x^2-x^3)Σ(n=0～∞)a_n（x^n)に対して、a_0，・・・,a_10を求め、その規則性を見つけよ。そして、どうしてその規則性が成り立つのか説明せよ。
できるだけ、詳しく教えてください。お願いします。
0247１３２人目の素数さん
2010/12/30(木) 05:02:11別人だろjk
偶然名前が一致したか、恨みがあるかの2択しかありえない。
0248１３２人目の素数さん
2010/12/30(木) 10:02:120249１３２人目の素数さん
2010/12/30(木) 20:40:24もしよろしければ解答おねがいできますか？
過疎ってきているから、加速燃料になるはｚ...
0250１３２人目の素数さん
2010/12/30(木) 22:42:08両辺に 分母を掛けて x^k の係数を比較する。
(1) a_0 =1, a_1 -a_0 =0, a_k -a_(k-1) -a_(k-2) =0, (k≧2)
∴ a_n = F_(n+1), Fibonacci数列。
(2) a_0 =2, a_1 -a_0 =-1, a_k -a_(k-1) -a_(k-2) =0, (k≧2)
∴ a_n = F_n +2F_(n-1),
(3) a_0 =0, a_1 -a_0 =0, a_2 -a_1 -a_0 =1, a_k-a_(k-1)-a_(k-2)-a_(k-3) =0, (k≧3)
∴ a_n = T_(n-3) Tribonacci数列。
0252１３２人目の素数さん
2010/12/31(金) 02:05:23⑫ の例
(x,y,z) =
( 5, 7, 55)
(13, 13, 239)
(27, 37, 1551)
( 8, 17, 296)
(32, 17, 1064)
(28, 47, 2344)
(76, 47, 6184)
(44, 63, 4416)
(64,111,12984)
(22, 31, 1076)
(46, 31, 2324)
(46, 97, 9644)
さて、無限にあるかどうか…
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