要はそういう事ですね。
松島多様体はその箇所以外にも大きな論理ギャップがあちこちにあるので
独学者にはちょっとキツい本だと思います。

他にもこういうのがあります。
http://ameblo.jp/kazuaha63/entry-11450801243.html
>接ベクトルの理解できないところが翻訳バージョンで加筆されていたのを見て、「あー、やっぱり」などと...

おそらく2次のテイラー展開で打ち切って証明すればOKだろな箇所の事だと思いますが
自分もテキトーな証明だなあって思いながら他で自力で補った記憶があります。